≪辞書式配列≫ （□□■□などを使う）
〔例1〕a, b, c, d eの5文字をすべて使ってできる順列を辞書式配列に並べたとき、
daebcは何番目か。： (i)先頭がa, b, cのときは、すべてdaebcよりも先に来るので、その個数は4P4×3=72個。 (ii)先頭がdのときは、daに続く文字列を辞書式に並べるとbce, bec, cbe, ceb, ebc, … となるのでdaebcはdで始まる文字列の5番目である。
(i), (ii)より72+5=77番目//
〔例2〕A, B, C, D E, Fの6文字をすべて使ってできる順列を辞書式配列に並べたとき、
①140番目の文字列は：
先頭がAの文字列は5!=120 次に、先頭からBACと並ぶ文字列は3!=6
同様にしてBADは3!=6 BAEは3!=6 ここまでに120+6+6+6=138個
続いてBAFCDE, BAFCEDとなるから140番目の文字列はBAFCED//
②FBCDAEは何番目の文字列か： 先頭がAからEで始まる文字列は5×5!=600個
次にFAで始まる文字列は4!=24個 FBAは3!＝6個 FBCAは2!=2個
この次はFBCDAEとなるので 600+24+6+2+1=633個//
〔例3〕MONDAIの6文字すべてを用いてできる文字列をｱﾙﾌｧﾍﾞｯﾄ順に並べる場合:
①27番目の文字列：AD□□□□となる文字列の個数は4!=24個 よって27番目の文字列は
AD□□□□という形の文字列の3番目となるAIDNMO//
②MONDAIは何番目の文字列か：
(i)1文字目がAである文字列A□□□□□の個数は5!=120個あるので、
同様にしてD□□□□□, I□□□□□の個数もそれぞれ120個ずつある。
(ii)1文字目がMで、2文字目がAであるMA□□□□の個数は4!=24個あるので、
同様にしてMD□□□□, MI□□□□, MN□□□□の個数もそれぞれ24個ずつある。
(iii) 1文字目がMで、2文字目がOで、3文字目がAであるMOA□□□の個数は
3!=6個あるので、同様にしてMOD□□□, MOI□□□の個数6個ずつある。
(iv)1文字目から3文字目までがMONとなる文字列はMONADI, MONAID, MONDAIとなり、
求める文字列は120×3+24×4+6×3+3=477番目//
〔例4〕a, b, c, d, e, i, o, uの8文字すべてを用いてできる文字列のうち、子音のあとに必ず母音がくるものの個数：
8文字の並べ方は○□○□○□○□となり、8文字のうち母音a, e, i, o, uは□に、
子音b, c, dは○に入れればよいので、求める文字列の個数は5!×5P3=120×60=7200個//
〔例5〕SHIKENの文字をすべて用いてできる順列をｱﾙﾌｧﾍﾞｯﾄ順に並べる場合:
①EHIKNSから並べると、25番目の文字列は、EH□□□□より、□□□□の並び方は
(6－2)!=24, 25番目はEIHKNS
②SHIKENは何番目か：(i) E, H, I, K, Nで始まるものが5P5×5,
(ii) SH(E,□)□□□で始まるものが4P4 , (iii) SHI(E,□)□□で始まるものが3P3 ,
(iv) (SHIEK)=1, (SHIEN)=2, (SHIKEN)=3, よって5P5×5+4P4+3P3+3=633通り
③140番目の文字列：(i)E□□□□□より、(6－1)!=120
(ii) HE□□□□より、(6－2)!=24, (i)+(ii)=144
(iii) HEI□□□より、3!=6 (iv) HEK□□□より、3!=6 (v) HEN□□□より、3!=6
(vi) (i)+(iii)+(iv)+(v)=138 (vii) 139番目はHESIKNとなるので、140番目はHESINK//
〔例6〕6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5 をすべてを並べてできる6桁の自然数を小さい方から並べたとき、122番目の数は：十万の位が1である自然数の個数は5!=5・4・3・2・1=120個
よって121番目は201345、122番目は201354//
≪同じものを含む順列≫
n!/(p!q!r!…) (ただしp+q+r+…=n)
・両端が異なる色や文字のとき：すべての並べ方－両端が同じ色
・隣り合わないとき：あとから間や両端に入れる
〔例1-1〕aaaabbbcccをすべて並べる:
☞ 10!÷(4!3!3!)=4200通り または、10C4×6C3×3C3=4200通り//
〔例1-2〕赤、青、白のﾋﾞｰｽﾞがそれぞれ3個、4個、2個ある。同じ色の玉は区別しないとき、
（1）白のﾋﾞｰｽﾞが両端にくる並べ方:
☞両端は2個ある白で固定されるので、その間に赤3個と青4個とを並べる方法は
7!/(3!4!)!=35通り//
（2）赤のﾋﾞｰｽﾞが3個続いて並ぶように1列に並べる：
☞続いて並ぶ赤3個を1つのものと見なし、残りの青4個、白2個との合計7個を並べる
方法は、7!/(1!4!2!)=105通り//
〔例2〕同じ色のｶｰﾄﾞは区別できない、白5枚･赤2枚･黒1枚の合計8枚のｶｰﾄﾞを1列に並べる：
(i)赤が隣り合う： ☞wwwrrbwのrr を1枚とみなすと、7!÷5! or 7C6×2=
(ii)両端のｶｰﾄﾞの色が異なる： ☞全体－（両端が白+両端が赤）より、
8!÷(5!2!1!)－{6!÷(3!2!1!)+6!÷(5!1!) or 8C5×3C2－（6C3×3C2+6C5）=
(iii)右端が白で、赤が隣り合わず、どの赤も黒と隣り合わない：☞ ・w・w・w・w・w・において、
「・」の部分に赤2枚と黒1枚を並べるので、5C3×3!÷2!1! or 5C3×3C2=
〔例3〕equationsの文字をすべて用いる順列の場合:
①母音5個と子音4個がそれぞれ続いて並ぶとき：☞ 5P5×4P4×2 =
②母音、子音が交互に並ぶとき：☞ (vcvcvcvcv)より、5P5×4P4 =
③eとaの間に文字が2個入るとき： ☞ (exxayyyyyy)より、2(e, a)×7P2(xx)×6P6(all)
〔例4〕SOCCERの6文字を1列に並べるとき、S,Rがこの順に並ぶ場合:
☞S, Rを同じものxxCCOEと考えて6!/{2![x]2![C]}=180//
〔例5-1〕YOKOHAMAの8文字を1列に並べる用法：
①Y, K, H, Mがこの順にある並べ方：☞Y, K, H, Mを同じものxxxxOOAAと考えて、
8!÷(4!2!2!)=420//
②OとAが必ず偶数番目にある並べ方: ☞・□・□・□・□において「・」にY, K, H, Mがくるので、4! また、□にOOAAがくるので(4!)/(2!2!) したがって4!×{(4!)/(2!2!)}=144//
〔例5-2〕NAGASAKIの8文字を1列に並べる用法：
①AとIが必ず偶数番目にある順列の総数：
☞奇数番目にはN, G, S, Kを配置する。この方法の並び方は4!=24通り。
偶数番目にはA, A, A, Iを配置する。この方法の並び方は4!/(3!1!)=4通り。
よって求める順列の総数は24×4=96通り//
②N, G, S, Kがこの順にある順列の総数: ☞N, G, S, Kをそれぞれ□で表すと、
8文字は□A□A□A□Iとなるから、求める順列の総数は8!/(4!3!1!)=280通り//
〔例5-3〕OSAKASIの7文字を横1列に並べるとき、
①両端が母音(A, O, I)となる場合:
☞ (1) 両端が(A, A)のとき、(5!)/(2!)=60
(2) 両端が(A, I), (A, O)のとき、(A, I), (I, A)の2通りと、
(A, I), (I, A)の2通りに注目すると{(5!)/(2!)}×2×2=240
(3) 両端が(I, O)のとき、{(5!)/(2!2!)}×2=60 よって60+24+60=360//
②AとAが隣り合わない場合:
☞すべての並び方－AAが隣り合う並べ方より、AAをXとおくと
OAAKSSIとなり、{(7!)/(2!2!)}－{(6!)/(2!)}=1260－360=900//
〔例6〕A, B, C, D, E, F, Gの7人について
①この7人を1列に並べるとき、AはB, Cより左側にくる並べ方:
☞□□□○○○○より、(2×7!)/3!=1680 //（2×はB, Cの入れ替え）
②この7人を2人、2人、3人の3組に分ける方法： ☞(7C2×5C2×3C3)/2!=105 //
〔例7〕A, B, C, D, E, F, G, Hの8文字をでたらめに横1列に並べる。
①AとBが両端にある並べ方: ☞ 2×6!= //
②AはBより左で、BはCより左にある並べ方：
☞条件を□で表すと、□□□○○○○○より、8!/3!= //
〔例8-1〕GAKUSEIの7文字を並べて順列を作る。G, K, S, Iがこの順にあるものの総数：
☞順序が決まっているG, K, S, Iを同じ文字○と考えると、○○○○AUEの順列であるから、
その総数は7!/4!=7・6・5=210//（○○○○にはG, K, S, Iを当てはめるところがﾎﾟｲﾝﾄ）
〔例8-2〕DAIGAKUSEIの10文字を並べる：
①子音の位置はそのままDAIGAKUSEIとする場合:
☞D□□G□K□S□□より6!÷{2![A]2![I]}=180//
②子音は左からD,G,K,Sとする場合:
☞D,G,K,Sを同じものxxxxと考えてxxxxooaaより、10!÷(4!2!2!)=37800//
③DとGが隣り合わない場合:
☞すべての場合－DとGが隣り合う場合より、10!÷(2!2!)－2[DG]×9!÷2![A]2![I]=725760//
〔例9〕7個の数字1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7を1列に並べて順列を作る。
1, 2, 3はこの順序で6, 7もこの順序になるようなものの総数：
☞1, 2, 3を○で、6, 7を□で表すと7個の数字は○,○,○, 4, 5, □,□となる。
よって求める順列の総数は7!/(3!2!)=420通り//
〔例10〕computerの8文字を1列に並べる方法：
①o, u, eがこの順に並ぶ場合：☞AAAcmptrより、8!/3!=//
②mはpより左に、tはrより左にくる場合: ☞AABBcoueより、8!/(2!2!)=//
〔例11〕a, b, c, ……, jの10個の文字を使ってできる4文字の文字列のうち
aaab, hihiのように2種類の文字からなるものは何個：
☞aからjの10文字から2文字を選ぶ組合せは10C4=45通り。
選んだ2種類の文字をa, bとすると
(i)aが1個、bが3個からなる文字列の個数は4!/(1!3!)=4個
(ii) aが2個、bが2個からなる文字列の個数は4!/(2!2!)=6個
(iii) aが3個、bが1個からなる文字列の個数は4!/(3!1!)=4個
(i)から(iii)より求める個数は45×(4+6+4)=630個//
〔例12-1〕0を2回、1を3回、2を2回（つまり0,0,1,1,1,2,2）使って、7桁の整数を作るとき、
①7桁の整数の総数は何通りか：
☞ (すべての並び方[0,0,1,1,1,2,2])－(百万の位が0になる並べ方[x,0,1,1,1,2,2])より、
7!/(2!3!2!)－6!/(1!3!2!)=210－60=150//
②7桁の偶数は何通りか：
☞ (i) 一の位が0で、百万の位が1のときは、それらの間に0,1,1,2,2が入るから、
[1,x,x,x,x,x,0]つまり、[0,0,1,1,1,2,2]より、 5!/(1!2!2!)=30
(ii) 一の位が0で、百万の位が2のときは、それらの間に0,1,1,1,2が入るから、[2,x,x,x,x,x,0]
つまり、[0,0,1,1,1,2,2]より、5!/(1!3!1!)=20
(iii) 一の位が2で、百万の位が1のときは、それらの間に0, 0,1,1,2が入るから、[1,x,x,x,x,x,2]
つまり、[0,0,1,1,1,2,2]より、5!/(2!2!1!)=30
(iv) 一の位が2で、百万の位が2のときはそれらの間に0, 0,1, 1,1,2が入るから、[2,x,x,x,x,x,2]
つまり、[0,0,1,1,1,2,2]より、5!/(2!3!)=10
したがって偶数の総数は30+20+30+10=90通り//
〔例12-1〕a, a, a, b, b, b, c, dの8文字すべてを横1列に並べて順列を作る。
(1)順列は全部で何通りか: ☞ (8!)/(3!3!)=1120通り//
(2)両端の文字が異なる順列は何通りか: ☞すべての順列－両端が同じになる順列より
(i)a○○○○○○aのとき、○の部分はabbbcd,
(ii) b□□□□□□bのとき、□の部分はaaabcd (i), (ii)ともに(6!)/(3!)=120通りになる。
よって1120－(120+120)=880通り//
(3)cが3個のaよりも右側にある。または、dが3個のbよりも右側にある順列は何通りあるか:
☞(i)○○○○bbbdのとき、○の部分はaaac, これをn(A)とする。
(ii) □□□□aaacのとき、□の部分はbbbd, これをn(B)とする。
(i), (ii)ともに(8!)/(4!3!)=280通り
ここでn(A∩B)は○○○○□□□□つまりaaacbbbdより(8!)/(4!4!)=70
よって求める順列はn(A)+ n(B)－n(A∩B)=28+280－70=490通り//
〔例13〕1と書かれたｶｰﾄﾞが3枚、2と書かれたｶｰﾄﾞが2枚、3, 4, 5, 6と書かれたｶｰﾄﾞが
それぞれ1枚ずつ、合計9枚のｶｰﾄﾞがある。同じ数字が書かれたｶｰﾄﾞは見た目では区別
できないものとする。
（1）この9枚のｶｰﾄﾞを横1列に並べるときの並べ方：
☞9枚のｶｰﾄﾞの中に1と書かれたｶｰﾄﾞが3枚、2と書かれたｶｰﾄﾞが2枚含まれているので、
9枚のｶｰﾄﾞの並べ方は全部で、9!/(3!2!)=30240通り//
（2）3, 4, 5, 6と書かれたｶｰﾄﾞについて、左からこの順序で並ぶ並べ方：
☞横1列の９箇所のｶｰﾄﾞが入る場所のうち
1と書かれたｶｰﾄﾞが入る3箇所と、2と書かれたｶｰﾄﾞが入る2箇所を選ぶと、
残りの4箇所の場所に左から順に3, 4, 5, 6が入ることになるから、
9C3×6C2=84×75=1260通り//
[別解] 3, 4, 5, 6と書かれたｶｰﾄﾞを同じ数字nが書いてあるｶｰﾄﾞとみなし、
例えば1, 1, 1, n, 2, n, 2, n, nのような並び方を考えると、
求める並べ方は、9!/(3!2!4!)=1260通り//
〔例14〕1から10までの数字を1つずつ書いた10枚のｶｰﾄﾞを1列に並べる場合:
①奇数のｶｰﾄﾞどうしが続かないとき：(奇数が続かない=奇数の間に偶数が1つずつ入る。
2つ以上間に入ると奇数が続くことになる)（e1e3e5e7e9e）より、5P5（奇数）×6P5（偶数）
②3の倍数のｶｰﾄﾞが3枚続くとき: (369xxxxxxx)より、3P3（3の倍数）×8P8(all)
③3の倍数のｶｰﾄﾞのうち、どの2枚も隣り合うことがない並べ方:
(ox3x6x9xoxoxoxo)より、7P7（x）×8P3 (3の倍数はxとxの間の部分に入る)
〔例15-1〕赤玉6個と白玉4個がある。この10個の玉をどの白玉も隣り合わないように一列に
並べる方法の総数： 〔注意〕赤玉・白玉に番号が付いていないのでPではなくC
☞まず赤玉6個を一列に並べておいて、赤玉6個の列の両端に白玉を配置するか、
または赤玉と赤玉の間に白玉を配置する。白玉を配置する場所は全部で7か所あるから、
この7か所から4か所を選べばよいので、求める並べ方の総数は7C4=35通り//（順列と区別）
〔例15-2〕赤玉5個と白玉3個がある。この8個の玉をどの白玉も隣り合わないように一列に
並べる方法の総数：☞多い方の赤玉5個を一列に並べておいて、赤玉5個の列の両端に
白玉を配置すると、白玉が並ぶ位置は6か所あるので 6C3=20通り//