対数関数の導関数：

       ・(log x)’=1/x        ・(log _a x)’=1/(xloga)       ・{log|f(x)|}’=f ’(x)/f(x)

　　　・{log_c(ax+b)}’=(ax+b)’/( ax+b)logc　　   (cf)∫{(ax+b)’(ax+b)}dx=log|ax+b|+C

・lim(h→0)(1+h)^1/h=e (e≒2.71828…)…これはlim(h→∞){1+(1/x)}^x=eとも表せる。       

◎対数関数y=logx, y=log_axの導関数：    (log x)’=1/x,  (log_ax)’=1/(xloga)

   　○(log x)’=1/x,(x>0)の証明:　

         ☞f(x)=logxとおいて定義にしたがって微分すると

　　　　f ’(x)= lim(h→0){f(x+h)－f(x)}/h= lim(h→0){log(x+h)－logx}/h

         ここで対数法則を使うと　

        与式= lim(h→0)[log{(x+h)/x}/h= lim(h→0) (1/h)log{1+(h/x)}

   = lim(h→0)log{1+(h/x)}^1/h                                                   

極限公式lim(x→0)( e^x－1)/x=1, lim(x→0)(1+x)^1/x=eの後者を用いるために

さらに変形すると与式= lim(h→0)log[{1+(h/x)}^x/h]^1/x= lim(h→0)(1/x)log[{1+(h/x)}^x/h]

ここで極限公式を用いると与式= lim(h→0) (1/x)loge= lim(h→0)(1/x)・1=1/x//

   　○(log |x|)’=1/xの証明:                                                            

　　　　   ☞( i)　x>0のとき、y=logxであるからy’=1/x  

   (ii) x<0のとき、y=log(－x) であるからy’=1/(－x)・(－x)’=1/x

        よって(log |x|)’=1/x//

〔別解〕( i)x>0のときは　(log x)’=1/x,(x>0)の証明と同じ。    

              (ii) x<0としてx=－uとおくとu>0 よってy=log|x|=log|－u |+logu

           ここで合成関数の微分法y’=f ’(u)・u’を用いて微分すると

           y’=(logu)’(－x)’ 　u>0より(logu)’=1/uを使うと

           y’=(1/u)・(－1)=1/(－x)・(－1)=1/x//                          

　　　○(log_ax)’=1/(xloga)の証明:　

  ☞(log_ax)’=lim(⊿x→0)[{log_a(x+⊿x)－log_ax}/⊿x]

               = lim(⊿x→0)(1/⊿x)log_a{1+(⊿x/x)}　

  ここで⊿x/x =hとおくと⊿x→0のときh→0であるから

     (log_ax)’=lim(h→0)[{1/(xh)}log_a(1+h)]=(1/x)lim(h→0)log_a(1+h)^1/h

               =(1/x)log_ae=1/(xlog_ea)=1/(xloga)//

〔別解〕☞y’=1/(log_a|x|)・(1/x)=1/(xloga)//

・(log x)’=1/x//               ・{log_c(ax+b)}’=(ax+b)’/( ax+b)logc

・{log(ax+b)}’=1/(ax+b)・(ax+b)’=(ax+b)’/(ax+　　　　　(cf)「log_ea=b」⇆「e^b=a」

・{log₁₀(ax+b)}’=[1/{(ax+b)log10}]・(ax+b)’=(ax+b)’/{(ax+b)log10}//

・(log _a x)’=1/(xloga)

☞(log_a x)’=(log x/log a)’={(1/log a)・(log x)}’=(1/log a)・(1/x)=1/(x log a) //

・(log_xa)’=(loga/logx)’={0－loga(logx)’}/(logx)²=－loga(1/x)}/(logx)²

           =－loga/{x(logx)²}//

・(log₂x)’ =(log x/log 2)’=1/(x log 2) //         

・{log₂(1－2x)}’={log(1－2x)/log2}’=(1－2x)’/{(1－2x)・log2}               

             =－2/{(1－2x)・log2}=2/{(2x－1)・log2} // （log2を残す）

・(log₂3x)’=(3x)’/(3x log2)=1/(x log2) //  　　　 ・{log(ax+b)}’=(ax+b)’/(ax+b)

・{log₁₀|3x－2|}’=(3x－2)’/{(3x－2)log10}=3/{(3x－2)log10}//（定数のlog10を残す）

・(log2x)’=(2x)’/(2x)=2/(2x)=1/x//         ・(log4x)’=(4x)’/(4x)=4/(4x)=1/x// 

・(xlogx)’=x’logx+x(logx)’=logx+1//

・(x²logx)’=(x²)’logx + x²(logx)’=2xlogx+x²・(1/x)=2xlogx+x//

・{x²(logx)³}’=( x²)’(logx)³+ x²{(logx)³}’=2x(logx)³+ x²・3(logx)²・(1/x)

                =2x(logx)³+3x(logx)²//

・(logx²)’=(2logx)’=2・(1/x)=2/x//または(logx²)’=(x²)’/(x²)=(2 x) /(x²)=2/x//

　　　・{(logx)²}’=2logx・(logx)’=(2logx)/x//

・{(logx)³}’=3(logx)²・(logx)’=3(logx)²・(1/x)= {3(logx)²}/x//                          

・{(logx)^x}’ (x>1): ☞y=(logx)^x   x>1より(logx)^x >0 

    両辺の自然対数をとるとlogy=log{(logx)^x}=xlog(logx) 

    両辺をxで微分するとy’/y=1・log(logx)+x・(1/logx)・(1/x)= log{logx}+(1/logx)

                ∴y’=y{log(logx)+(1/logx)}=(logx)^x {log(logx)+(1/logx)}//

・{log(x²+1)}’=(x²+1)’/(x²+1)=2x/(x²+1) //

・{log√(x+1)}’={log(x+1)^1/2}’={(1/2)log(x+1)}’=(x+1)’/{2(x+1)}=1/{2(x+1)}//

・[log{x+√(x²+1)}]’={x+√(x²+1)}’/ {x+√(x²+1)}= 1+{√(x²+1)}’/ {x+√(x²+1)}

=[1+{2x/(2√x²+1)}] /{x+√(x²+1)}={√(x²+1)+x}/ [{x+√(x²+1)}・√(x²+1)]

={x+√(x²+1)}/ [{x+√(x²+1)}・√(x²+1)]=1/{√(x²+1)}//

〔別解①〕[log{x+√(x²+1)}]’={x+√(x²+1)}’/ {x+√(x²+1)}

= 1+{√(x²+1)}’/ {x+√(x²+1)}

=[1+{2x/(2√x²+1)}] /{x+√(x²+1)}

=[1+{x/(√x²+1)}] /{x+√(x²+1)}  分子を√(x²+1)で通分すると

=[{√(x²+1)+x}/{√(x²+1)}]×[1/{x+√(x²+1)}]

=1/{√(x²+1)} //　　　（体系数学Ⅵ）

〔別解②〕{(x²+1)^1/2}’=(x²+1)’/{2√(x²+1)}=2x/{2√(x²+1)}=x/{√(x²+1)}, よって

　 [log{x+√(x²+1)}]’=[1+{x/√(x²+1)}]/ {x+√(x²+1)}

={√(x²+1)+x}/ [{√(x²+1)}・{x+√(x²+1)}]= 1/{√(x²+1)} //　　推奨

←{log(ax+b)’=(ax+b)’/(ax+b)を使う。

・{(x²+2x)logx}’=(x²+2x)’logx+(x²+2x)(logx)’=(2x+2)logx+(x²+2x)/x

                =(2x+2)logx+(x+2)//

・(log|x－1|)’=(x－1)’/(x－1)=1/(x－1) //                                    

・(log|x²－1|)’=(x²－1)’/(x²－1)=2x/(x²－1) //

・(log|logx|)’=1/logx・(logx)’=(logx)’/ logx =(1/logx)(1/x)=1/(xlogx)//

・{log(logx)}’=1/logx・(logx)’=(logx)’/ logx =(1/x)/ logx =1/(xlogx)//

・{loga|(x－1)/(x+1)|}’={loga(|x－1|/|x+1|)}’=loga|x－1|－loga|x+1|

     =[(x－1)’/{(x－1)loga}]－[(x+1)’/{(x+1)loga}]

     ={ x+1－(x－1)}/{( x－1)( x+1)loga}=2/{(x²－1)loga}//

   　☞(log_ax)’=1/(xloga)に注意

・{(x ^e)・log(x²+1)}’=(x ^e)’・log(x²+1)+(x ^e)・{log(x²+1)}’

     =ex ^e－1・log(x²+1)+ (x ^e)(x²+1)’/(x²+1)= ex ^e－1・log(x²+1)+ (x ^e)2x/(x²+1)    

     = ex ^e－1・log(x²+1)+(2x ^e+1)/(x²+1)// 　☞{log(ax+b)}’=(ax+b)’/(ax+b)　　　

・{log ₃(x²+1)}’=(x²+1)’/{(x²+1)・log3}=(2 x) /{(x²+1)・log3}//             

・{log ₃(2x－1)}’=(2x－1)’/{(2x－1)・log3}=2/{(2x－1)・log3}//           

・{log√(x²+1)}’={(1/2)log(x²+1)}’=(x²+1)’/{2(x²+1)}=(2x)/{2(x²+1)}= x/(x²+1)//

・[log{e^x(1－x)}]’=[loge^x+log(1－x)]’={(e^x)’/e^x}+{(1－x)’/(1－x)}=1+{－1/(1－x)}

     =(1－x－1)/(1－x)=x/(x－1)//

・[log√{( x²－1)/(x²+1)}]’:   ☞y= log√{( x²－1)/(x²+1)}=log{( x²－1)/(x²+1)}^1/2

           =(1/2){log( x²－1)－log(x²+1)}より                                      

y’=(1/2)[{ ( x²－1)’/ ( x²－1)}－{(x²+1)’/ (x²+1)}]　通分すると

   =(1/2)・{2x(x²+1)－2x ( x²－1)}/{( x²－1)(x²+1)}=2x/(x⁴－1)//

・[log{x+√(x²+4)}]’={x+√(x²+4)}’/ {x+√(x²+4)}

   ここで{x+√(x²+4)}’=1+(1/2)(x²+4)^－1/2(2x)=1+{2x/2√(x²+4)}

     ={√(x²+4)+x}/{√(x²+4)}                                                       

    よってy’=1/・{x+√(x²+4)}・{x+√(x²+4)}/{√(x²+4)}=1/√(x²+4)//

　　　・{³√(x+1)logx}’={³√(x+1)}’logx+{³√(x+1)}(logx)’

=[(x+1)’/{3³√(x+1)²}・logx+{³√(x+1)}(1/x)={xlogx+3(x+1)}/{3x・³√(x+1)²}//

・f(x)={log(logx)}, f(a)=0のとき、log{f ’(a)}の値：

☞f ’(x)=(logx)’/ logx =(1/x)/ logx =1/(xlogx) ①　　

f(a)=0よりf(a)=log_e(loga)=0 ∴loga=e⁰=1, a=e¹=e ∴a=e ②　　     

① ②よりlog{f ’(a)}=log{f ’(e)}=log{1/(eloge)}=log{1/e・1}=log(1/e)=loge^－1=－1//

・{log(sin x)}’=(sin x)’/sin x=cos x/sin x=1/tan x //

・{log(cos x)}’=(cos x)’/cos x=(－sin x)/cos x=－tan x //                           

・{log(tanx)}’=(tanx)’/tanx=(1/cos²x)/tanx=(1/cos²x)/(sinx/cosx)

                =cosx/sinx=1/(sinxcosx)//

・{log(sin²x)}’=(sin²x)’/(sin²x)={2(sinx)(sinx)’}/(sin²x)=(2cosx)/(sinx)=2/tanx//

・[{log(x²+3)}/ (log2x)]’=[{log(x²+3)}’(log2x)－{log(x²+3)}(log2x)’]/(log2x)’　　

=[{(x²+3)’/(x²+3)}・(log2x)－log(x²+3)・(2x)’/(2x)]/(log2x)²                    

=[{(2x)/(x²+3)}・(log2x)－log(x²+3)・2/(2x)]/(log2x)²

=[2 x²(log2x)－(x³+3)log(x²+3)]/{x(x²+3)(log2x)}//

　　　・([log{(√x)+1}]²)’: ☞t=log{(√x)+1}とおくと　y=t² よってdy/dt=2t,

dt/dx={(√x)+1}’/{(√x)+1}=1/[2(√x){(√x)+1}]=1/[2{x+√x}]:

よって(dy/dt)・(dt/dx)=(2t)/[1/{2(x+√x)}]=[log{(√x)+1}]/(x+√x)//

　　　・[log{(x²－a²)/(x²+a²)}]’ (aは定数でa>0, a≠1):　☞y=log(x²－a²)－log(x²+a²):

       y’={( x²－a²)’/( x²－a²)}－{( x²+a²)’/( x²+a²)}={2x/( x²－a²)}－{2x/( x²+a²)}

=2x{(x²+a²)－(x²－a²)}/{(x²－a²)(x²+a²)}=(2ax)/{(x²－a²)(x²+a²)}//

　　　・{log_asinx}’(aは定数でa>0, a≠1): ☞{log_c(ax+b)}’=(ax+b)’/(ax+b)logcより

{log_asinx}’=(sinx)’/{(sinx)loga}=cosx/{(sinx)loga}//

　　　・[log_a{x+√(x²－a²)}]’ (aは定数でa>0, a≠1):

            ☞{log_c(ax+b)}’=(ax+b)’/(ax+b)logcより

y’={ x+√(x²－a²)}’/[{x+√(x²－a²)}loga]:　

ここで分子=1+[(x²－a²)’/{2√(x²－a²)}]=1+[2x/{2√(x²－a²)}]

        ={2√(x²－a²)+2x}/{2√(x²－a²)}={x+√(x²－a²)}/{√(x²－a²)}:

よってy’=[{x+√(x²－a²)}/{√(x²－a²)}]・(1/[{x+√(x²－a²)}loga])

                               =1/{√(x²－a²)・(loga)}//