≪整式の続きです≫

(共通因数・たすき掛け(襷掛けI&II・降べき順・2次式・指数法則・4項式

1対称式

a2+b2+c2ab+bc+caなど、どの2文字を入れかえても、元の式と同じになる式で、

a, b, cの対称式は、a+bが因数なら、b+c, c+aを因数にもつ。

x, yの対称式のうち、特にx+y, xyを基本対称式という。

x, y, zについては、x+y+z, xy+yz+zx, xyzを基本対称式という。

2次方程式の解と係数の関係などに用いる。対称式は必ず基本対称式で表すことができる。

2交代式

2文字を入れかえると、符号だけが変わる式。

aba, bの交代式、(ab)(bc)(ca) a, b, cの交代式。

a, b, cの交代式は、因数(ab)(bc)(ca) をもつ。

3文字の場合は文字を(ab)(bc)(ca)のように、輪環の順に書く

〔参考〕対称式×対称式=対称式

例:( x+y)xy / 対称式×交代式=交代式

例:xy( xy) / 交代式×交代式=対称式 

 

因数分解のためのおもな公式と実例をまとめました≫ Factoring:

x3+y3=( x+y)( x2xy+y2) //

        2x3+16y3 = 2 (x3+8y3)=… //             

(x3)(x1)(x+2)(x+4)144=… //

         x81 = (x4)212 = …//          

x47x2y2+y4=(x2+y2)29x2y2=… //

         x3+2x2x2 =( x3+2x2)(x+2)= x2(x+2)(x+2)=… //

x3+4x2+8x+8

=(x3+8)+4x(x+2)=(x+2)(x22x+4)+4x(x+2)=(x+2)(x2+2x+4) //

x34x2+8x8

=(x38)4x(x2)= (x2)(x2+2x+4)4x(x2)=(x2)(x22x+4) //

8x3+6x2+3x+1

=(8x3+1)+3x(2x+1)=(2x+1)(4x22x+1)+ 3x(2x+1) =… //

xyz+x2yxy2x+yz

=(xy1)z+xy(xy)(xy)=(xy1)z+(xy) (xy1)

=(xy1){z+(xy)}=(xy1)( xy+z) //

         x3+x2xy+y3+y2

=( x3+y3)+( x2xy+y2)=(x+y)( x2xy+y2)+( x2xy+y2)

=(x+y+1)( x2xy+y2) //

         x5+x4+x3+x2+x+1

= x4 ( x+1)+x2 ( x+1)+( x+1)

=( x+1)( x4+x2+1)        

=( x+1){( x4+2x2+1)x2}

=( x+1){( x2+1) 2x2}

= ( x+1){( x2+1)+x }{( x2+1)x }=( x+1)( x2+x+1)( x2x+1)//

         x3yx2y+x2xy3+y3y2

=( x3yxy3)+( y3x2y)+( x2y2)= xy (x2y2)y (x2y2)+( x2y2)

=(x2y2)( xyy+1)=( x+y)( xy)( xyy+1)//

a2+b2=(a+b)22ab / a3+b3=(a+b)33ab(a+b)

/ a3b3=(ab)3+3 ab(ab)   

a3+b3+c33abc=(a+b)33ab(a+b)+c33abc

={(a+b)3+c3}{3ab(a+b)+ 3abc }                                            

            ={(a+b)+c}{(a+b)2(a+b)c+ c2}3ab{(a+b)+c}

            =(a+b+c)( a2+b2+c2+2abcabc)3ab(a+b+c)

            =(a+b+c){(a2+b2+c2+2abcabc)3ab}

            =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca) //

     〔別解〕a3+b3+c33abc= a3+b3+3a2b+3ab2+c33a2b3ab23abc

(a+b)3+c33ab (a+b+c)={(a+b)+c}{(a+b)2(a+b)c+ c2}3ab(a+b+c)

=(a+b+c){(a+b)2(a+b)c+ c23ab}

=(a+b+c){ a2+b2+c2+2abcabc3ab}

=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca) //

x3+y33xy+1= x3+y3+13xy=(x+y+1)( x2+y2+1xyxy)

    =(x+y+1)( x2xy +y2xy+1) //

a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)を使う。

x22xy+y2+4x4y+3

=( x22xy+y2)+(4x4y)+3=(xy)2+4(xy)+3= //

         6x217xy+5y22x+18y8

=6x2+(17y2)x+5y2+18y8

=6x2+(17y2)x+(y+4)(5y2)={2x(5y2)}{3x(y+4)}= //

a4+b4+c42a2b22b2c22c2a2

= a42(b2+c2) a2+( b2c2) 2

= a42(b2c2) a2+( b2c2) 24c2a2

={a2-(b2c2}2(2ca)2

=[{a2-(b2c2}+2ca][{a2-(b2c2}2ca]

=( a2b2+ c2+2ca)( a2b2+ c22ca)

={(a+c)2b2}{(ac)2b2}}     

=(a+b+c)(ab+c)(a+bc)(abc) //

a2 b2a b2+ b3+bcca

=( a22ab+ b2) bc (ab)

=( ab)2bc (ab)

=(ab){(ab) bc}=(ab)( a bb2c) //

a2 (bc)+b2 (ca)+c2 (ab)

=(bc)a2+(b2+c 2)a+b2 cbc2

=(bc) a2(b2c2)a+bc(bc)

=(bc)a2(b+c)(bc)a+bc(bc)

=(bc){a2(b+c)a+bc}=(bc)(ab)(ac)=(ab)(bc)(ca) //

a(b2c2)+b(c2a2)+c(a2b2)

=(b+c)a2+( b2c 2)a+(b2 c+bc2)

=(bc) a2+(b+c)(bc)abc(bc)

=(bc){a2(b+c)a+bc}

=(bc)(ab)(ac)=(ab)(bc)(ca) //

これはa, b, cについて交代式の例

(a+b+c) 3a 3b 3c3

={ a+(b+c)}3a 3b 3c3

={a3+3(b+c)a2+3(b+c)a+(b+c)3}a 3b 3c3

={a3+3(b+c)a2+3(b+c)a+(b3+3b2c+3bc2+c3)}a 3b 3c3

=3(b+c)a2+3(b+c)2a+3b2c+3bc2

=3(b+c)a2+3(b+c)2a+3bc(b+c)

=3(b+c){a2+(b+c)a+bc}=3(a+b)(b+c)(c+a) //

x3(yz)+y3(zx)+z3(xy)

=(yz)x3+(z3y3)x+yz(y2z2)            

= (yz)x3(y3z3)x+yz(y2z2)

=(yz){x3(y2+yz+z2)x+yz(y+z)}

= (yz){(zx)y2+(z2xz)yz2x+x3}

=(yz){(zx)y2+z(zx)yx(z2x2)}

= y2+ yzx(x+z)}= (yz)(zx){(y2x2)+z(yx)}

= (yz)(zx){(yx)(y+x+z)}=(y+x+z)(xy)(yz)(zx)

ab(ab)+bc(bc)+ca(ca)

= (bc)a2 +(b2+c 2)a+bc(bc)

=(bc)a2(b2c2)a+bc(bc)

=(bc)a2(b+c)(bc)a+bc(bc)

= (bc){ a2(b+c)a+bc}

=(bc){(ab)(ac)}=(ab) (bc) (ca) //

(ab)3+(bc)3+(ca)3 : ab=A, bc=B, ca=Cとおくと、

与式= A3+B3+C3= (A3+B3)+C3=(A+B)33AB(A+B)+C3

={(ab)+(bc)}33(ab)(bc){(ab)+(bc)}+(ca)3

= (ac)33(ab)(bc)(ac)+(ca)3

=(ca)3+3(ab)(bc)( ca)+(ca)3

=3(ab)(bc)( ca) //  

別解(ab)3+(bc)3+(ca)3 : ab=A, bc=B, ca =Cとおくと、

A+B+C=(ab)+(bc)+( ca)=0, A+B+C= 0                       

公式A3+B3+C33ABC =( A+B+C)( A2+B2+C2ABBCCA),   

ここにA+B+C= 0を代入してA3+B3+C33ABC=0                      

よってA3+B3+C3=3ABC, A=ab,B=bc, C=caを代入して

(ab) 3+(bc) 3+( ca) 3=3(ab)(bc)(ca) //

a(bc) 2+b(ca) 2+c(ab) 2+8abc

=a(b22bc+c2)+b(c22ca+c2)+c(a2ab+b2)+8abc

=(b+c) a2+(b2+2bc+ c2)a+b2c+ bc2

= (b+c) a2+(b+c)2a+bc(b+c)

= (b+c){ a2+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)= (a+b)(b+c)(c+a) //

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

= (b+c){(a+b)(c+a)}+ abc

=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}+abc

=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)+abc

=(b+c)a2+{(b+c)2+bc}a+bc(b+c)

={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}=(a+b+c)(ab+bc+ca) //

ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a) +2abc

=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+(b2c+bc2)

=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //

(b+c)a2+(c+a)b2+(a+b)c2+2abc

=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+(b2c+bc2)       

= (b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)

=(b+c){a2+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)= (a+b)(b+c)(c+a) //            

(b+c)a2+(c+a)b2+(a+b)c2+3abc

=(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+(b2c+bc2)

=(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+bc(b+c)

={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}=(a+b+c)(ab+bc+ca) //

a(b+c) 2+b(c+a) 2+c(a+b) 24abc

=a( b2+2bc+c2) +b(c2+2ca+a2)+c(a2+2bc+ b2)4abc

=(b+c)a2+(b2+2bc+c2+2bc+2bc4bc)a+(b2c+bc2)

=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)

=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //

 ○(a+bc)(abbcca)+abc

={a+(bc)}{(b+c)abc}+abc

  or a2babcca2+ab2b2cabcabc+bc2+c2a+abc

= (bc)a2abc+(bc)2abc(bc)+abc+c2

=(bc){a2+(bc)abc}

=(bc)(a+b)(ac)=(a+b) (bc) (ca) //

〔別解〕(a+bc)(abbcca)+abc={(a+b)c}{abc(a+b)}+abc

= ab(a+b)c(a+b) 2abc+c2(a+b)+abc

=(a+b){abc(a+b)+c2}

=(a+b){(ca)(cb)=(a+b) (bc) (ca) //

(a+b+c)(ab+bc+ca)abc

=(b+c)a2+(bc+b2+bc+bc+c2bc)a+(b2c+bc2)

=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+bc(b+c)

=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)

=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //

〔別解〕a=cとおくと式の値が0となり、

(a+b)を因数をもつので因数定理恒等式を用いて解く。

  xnyn = (xy) (xn1+xn2y+xn3y2++xyn2+yn1)

nが奇数のとき) xn+yn =(x+y) (xn1xn2y+xn3y2-…-xyn2+yn1)

nが偶数のとき) xnyn =(x+y) (xn1xn2y+xn3y2-…+xyn2yn1)

     ・1xn=(1x)(1+x+x2+x3+.....+xn1)←因数定理による