≪組分け≫（同じものから選ぶ組合せnCr×n－rCr×…）
〔例1〕8冊を5冊、2冊、1冊に分ける〔冊数の違いから区別できる〕: ☞8C5×3C2
〔例2〕A高校の生徒会役員は男子3名、女子3名でB高校の生徒会役員は
男子3名、女子2名である。各高校の役員からそれぞれ2名以上を出して、
合計5名の合同委員会をつくる。
①委員会の作り方は何通りあるか:
☞ (i) A高校6人から2人とB高校5人から3人選ぶとき: 6C2×5C3=150通り
(ii) A高校6人から3人とB高校5人から2人選ぶとき: 6C3×5C2=200通りとなるので、
委員会のつくり方は、150+200=350通り //
②委員会に少なくとも女子が1名いる場合は何通りか:
☞全体－全員男より、350－6C5=350－6=244通り //
〔例3〕男子5人と女子4人がいる。
この9人を次のように3人ずつA,B,Cの3部屋に入れる方法は何通りあるか：
(i)Aには男子だけを入れる場合：
☞Aに男子5人から3人選び、残りの6人から3人選び、
残りの3人をCに入れるから、5C3×6C3×3C3=200通り
(ii)3部屋のうち1部屋だけには女子を入れる場合:
☞Aにだけ女子を入れるときは、
女子4人から3人を選び、残りの6人から3人を選びBに入れる方法は、
6C3×6C3×3C3になる。さらに、B,Cに女子だけを入れる場合も同様だから、
求める場合の数は、6C3×6C3×3C3×3＝240通り
(iii)各部屋に女子を少なくとも1人入れる場合:
☞全体－3部屋のうち1部屋に男子だけを入れる場合より、
9C3×6C3×3C3－(1)の答え×3＝1680－600＝1080通り
(iv)女子を2人ずつ2部屋に分けて入れる場合:
☞女子を2人ずつ2部屋に入れて、残りの1部屋に男子だけを入れる。
Aに男子だけを入れる場合は、男子5人から3人を選ぶので5C3、
次に女子4人から2人を選び、残りの男子2人から1人を選びBに入れる。
B,Cに男子だけを入れる場合も同様である。
よって、5C3×(4C2×2C1)×1×3=360通り //
≪組分け≫（異なるものから選ぶ組合せnCr×n－rCr×…÷t, t=組数）
〔例1〕5人がA, Bの2部屋に分かれる。
(i)Aの部屋に3人、Bの部屋に2人入る場合:
☞Aに入る3人を決めると、残りの2人はBに入るから、5C3=10 or 5C3×2C2=10通り //
(部屋も人も区別できる)
(ii)3人と2人に分かれる場合:
☞ 5C3×2C2×2=20通り
(部屋の区別がないので、3人と2人の場合と2人と3人の場合がある)
〔例2-1〕①8冊を2冊ずつ4人に分ける：
☞4人の区別ができると考えると、8C2×6C2×4C2×2C2 =2520
②8冊を2冊ずつ4組に分ける：
☞冊数が同じで区別ができないから、8C2×6C2×4C2×2C2÷4
③8冊を4冊、2冊、2冊に分ける：
☞2冊ずつの冊数が同じで区別ができないから、8C4×4C2×2C2÷2
〔例2-2〕異なる8個の球を分ける分け方は通りあるか。
①A, B, C, Dの箱に2個ずつ入れる場合:
☞ 8C2×6C2×4C2×2C2 =2520通り//
②2個ずつの4組に分ける場合：
☞A, B, C, Dを区別しないから、(8C2×6C2×4C2×2C2)/4!=105通り//
〔例2-3〕10人のﾃﾆｽ部員から、団体戦に出場するﾀﾞﾌﾞﾙｽのﾍﾟｱを3組選ぶとき
何通りの選び方があるか： ☞(10C2×8C2×6C2)/3!=18900/6=3150通り//
〔例3〕①10人を4人、4人、2人の3組に分ける： ☞10C4×6C4÷2!=1575 //
②10人を2人、2人、2人、3人、1人の5組に分ける：
☞10C2×8C2×6C2×4C2÷3!=12600 //
③10人を3人、3人、2人、2人の4組に分ける：
☞ (10C3×7C3×4C2)÷(2! 2!)=6300 //
〔例4〕①8人をA, B2つの組に4人ずつ分ける:
☞Aの4人の選び方は8C4。
Aの4人が決まると、残りの4人はBになるから、求める分け方の総数は8C4=70//
②8人を4人ずつの2つの組に分ける:
☞①の分け方でA, Bの区別をなくせばよいから、70/(2!)=35//
〔例5〕①8人を5人、3人の2組に分ける： ☞8C5×3C3
②8人を4人、3人、1人の3組に分ける： ☞8C4×4C3
③8人を4人ずつA, Bの2部屋に入れる： ☞8C4×4C4（Aの部屋を決めると残りがBになる）
④8人を4人ずつの2組に分かれる: ☞ 8C4÷2
⑤8人を4人、2人、2人の3組に分ける： ☞8C4×4C2÷2
⑥8人を2人ずつの4組に分ける: ☞ 8C2×6C2×4C2÷4!=
〔例6〕異なる10個の缶詰から3個、3個、4個のｾｯﾄを作るとき、何通りの方法があるか:
☞ 同じものの区別はしないので、: 10C3×7C3×4C4÷2!=2100通り//
〔例7〕①12人を5人、4人、3人の3組に分ける[区別できる]：
☞12C5×7C4×3C3=27720 //
②12人を6人、3人、3人の3組に分ける[区別できないものあり]：
☞12C6×6C3×3C3÷2=9240 //
③12人を4人ずつの3組に分ける：
☞12C4×8C4×4C4÷3!= 5775 //
④12人を4人、4人、2人、2人の4組に分ける:
☞ (12C4×8C4×4C2×2C2)÷(2! 2!)=51975 //
⑤12人を3人ずつの4組に分ける：
☞12C3×9C3×6C3×3C3÷4! =15400 //
〔例8〕男子、女子それぞれ6人ずつ計12人を2つのｸﾞﾙｰﾌﾟに分ける。
おのおののｸﾞﾙｰﾌﾟは4人以上で、男子のﾘｰﾀﾞｰを決めることにすると、
何通りの方法があるか：
(i) 男子が5人と1人に分かれる場合：
☞6C1=6通り
このときﾘｰﾀﾞｰの決め方は男子5人の組で5通り
女子6人の分かれ方は男子5人の組に3人、2人、1人、0人と分かれて
6C3+6C2+6C1+6C0=42通り
したがって6×5×42=1260通り
(ii) 男子が4人と2人に分かれる場合：
☞ (i)と同様にして
6C4×(4・2)×(6C4+6C3+6C2+6C1+6C0)=6840通り
(iii) 男子が3人と3人に分かれる場合：
☞ (6C3/2)×(3・3)×(6C5+6C4+6C3+6C2+6C1+6C0)=6840通り
(i)~(iii)より 1260+6840+5580=13680通り //
〔例9〕①異なる9個の玉を4個、3個、2個の3つの組に分ける：
☞9C4×5C3×2C2=1260 //
②異なる9個の玉をA, B,Cの3つの組に3個ずつ分ける：
☞÷(3!3!3!)=1680 //
③異なる9個の玉を3個ずつの3つの組に分ける：
☞9C3×6C3×3C3の分け方で、A, B, Cの区別をなくせばよいから、
(9C3×6C3×3C3)/(3!)=1680/(3!) =280//
④異なる9個の玉を2個、2個、2個、3個の4組に分ける：
☞(9C2×7C2×5C2)/(3!) or( 9!)÷(2!2! 2!3!)/(3!)=1260 //
〔例10〕8人のﾚｽﾗｰがﾄｰﾅﾒﾝﾄ戦を行う。
①異なる組合せの数：
☞8人を4人、4人に分ける方法は8C4÷(2!)=35 //
分けられた4人はそれぞれさらに2人、2人に分けることになるので、
その方法は4C2÷(2!)=3 よって35×3×3=315通り //
②8人には実力差があり、試合ではつねに実力上位の者が勝つことにする。
このとき、実力3位の者が決勝戦に進出する組合せ方法：
☞最初に8人を4人、4人に分けるとき、実力3位の者と実力1位、2位の者とを
あらかじめ別々のｸﾞﾙｰﾌﾟに入れておくと、分ける方法は5人を
3人、2人に分ける方法に等しくなるから、5C3=10通り よって10×3×3=90通り//