三角関数の導関数：     (sinx)’=cosx　　　　　

        〔注意〕y=sin^－1xはy=1/(sinx)ではない。

                  y=sin^－1xはｱｰｸｻｲﾝで、y=sinxの逆関数である。

 

    ○(sinx)’=cosxの証明:　☞f(x)=sinxとおくと                                    

f ’(x)=(sinx)’=lim(x→0)[{sin(x+h)－sinx}/h]となるので、三角関数の

差を積に直す公式のsinα－sinβ=2cos{(α+β)/2}sin{(α－β)/2}を使うと

与式= lim(x→0)[2cos{(x+h)+x}/2・sin{(x+h)+x}/2]/h

   = lim(x→0)cos{x+(h/2)}・[{sin(h/2)}/(h/2)]=cosx・1= cosx //

　　　　〔別解〕（三角関数の極限lim(x→0){(sinx)/x}=1を使う場合）

    　　☞(sinx)’=lim(⊿x→0)[{sin(x+⊿x)－sinx}/⊿x]

            ここで三角関数の差を積に変形する公式

            sinA－sinB=3cos{(A+B)/2}・sin{(A－B)/2}より

　　　　　(sinx)’=lim(⊿x→0)[2cos{x+(⊿x /2)}・sin(⊿x /2)]/⊿x

= lim(⊿x→0)[cos{x+(⊿x /2)}・{sin(⊿x /2)}/(⊿x /2)]=cosx・1=cosx//

 

　　○(cosx)’=－sinxの証明: ☞cosx=sin{x+(π/2)}であるから

  合成関数の導関数の公式y’=f ’(u)・u’より

　　　     　(cosx)’=[sin{x+(π/2)}]’=cos{x+(π/2)}・1=－sinx //

〔別解〕y=cosx:  y=cosx=sin{(π/2)－x}よりy’=[ sin{(π/2)－x}]’=cos{(π/2)－x }・(－1)=－sinx//

 

    ○(tanx)’=1/cos²xの証明:　

☞商の導関数（分数の微分）の公式(u/v)’=(u’v－uv’)/v²を用いると

　　　　　 (tanx)’={sinx/cosx}’={sinx (cosx)’－(sinx)’cosx}/(cosx)²

={cosxcosx－sinx(－sinx)}/(cosx)²=(cos²x+sin²x)/(cosx)²=1/(cosx)²//

〔別解〕y=tanx:  y=tanx =sinx/cosxより y’={(sinx)’cosx－sinx(cosx)’}/cos²x

           ={cosxcosx－sinx(－sinx)}/cos²x={(sin²x+cos²x)/cos²x=1/cos²x//

・(sinx)’=cosx//       ・(cosx)’=－sinx//     ・(tanx)’=(sinx/cosx)’=1/cos²x//         

・(tan²x)’=2tanx(tanx)’=tanx/cos²x//        ・(1/tanx)’=(cosx/sinx)’=－1/sin²x//

　　　・(sin^－1x)’=1/√(1－x²), |x|<1//               ・(cos^－1x)’=－1/√(1－x²), |x|<1// 

       ・(tan^－1x)’=1/(1+x²)//（以上は逆数ではなく、逆関数。）

　　　・(1/sinx)’: ①(sinx)^－1=－(sinx)^－2・(cosx)=－cosx/sin²x//, 

                      ②－(sinx)’/sin²x=－cosx/sin²x//

・(1/cosx)’: ①(cosx)^－1=－(cosx)^－2・(－sinx)=sinx/cos²x//, 

                ②－(cosx)’/cos²x=sinx/cos²x//

・(1/sin²x)’: ①(sinx)^－2=－2(sinx)^－3・cosx=－2cosx/sin³x//

  ②－(sin²x)’/(sin⁴x)=(－2sinx・cosx)/(sin⁴x)=－2cosx/sin³x//

　　　・{(sinx)^x}’ (0<x<π):　 ☞y=(sinx)^xとおく。0<x<πのときsinx>0よりy=(sinx)^x >0

　　　　両辺の対数をとるとlogy=xlog(sinx),　

         両辺をxで微分するとy’/y=x’log(sinx)+x{log(sinx)}’:

         ここで{log(sinx)}’=(sinx)’/sinx =cosx/sinx,

よってy’=y[1・log(sinx)+{(xcosx)/sinx}]=(sinx)^x[log(sinx)+{(xcosx)/sinx}]//

　　　・{sin(x²+1)}’=cos(x²+1)( x²+1) =2xcos(x²+1)//  ☞tで置き換えたい部分を()’にする。

 ・(sin2x)’=(cos2x)(2x)’=2cos2x//　　

 ・(sin ² x)’=2sinx(sinx)’=2sinxcosx=sin2x// 

 ・(sin ³ x)’=3sin²x(sinx)’=3cosx sin²x//  

 ・(sin ⁴ x)’=4sin³x(sinx)’=4cosx sin³x//  

 ・(sinx²)’=cosx²・(x²)’=2xcos x²//  

 ・(sin²3x)’:①2sin3x・(cos3x)・3=6sin3xcos3x=3sin6x//

  （倍角の公式sin2θ=2sinθcosθより）

　　　　　  　②2sin3x(sin3x)’・(3x)’=2sin3x(cos3x)・3=6sin3xcos3x=3sin6x//

 ・{(sinx)/x}’={(sinx)’・x+sinx・x’}/x²=(xcosx－sinx)/x²// ☞tで置き換えたい部分を()’に

 ・(e^xsinx)’=(e^x)’sinx+e^x(sinx)’=e^xsinx+e^xcosx=e^x(sinx+cosx)//

 ・(x²sin3x²)’=(x²)’sin3x²+x²(sin3x²)’=2xsin3x²+x²(cos3x²)(3x²)’

           =2xsin3x²+x²(cos3x²)6x=2xsin3x²+6x³cos3x²//                                

　　 　・{x²sin(3x+5)}’=(x²)’sin(3x+5)+ x²{sin(3x+5)}’

              =2xsin(3x+5)+ x²cos(3x+5)・(3x+5)’=2xsin(3x+5)+3x²cos(3x+5)//

　　 　・{sin√(x²+2x－1)}’=cos{√(x²+2x－1)}・{√(x²+2x－1)}’

                     = cos{√(x²+2x－1)}・1/{2√(x²+2x－1)}(2x+2)

                     =[(x+1){cos√(x²+2x－1)}]/{√(x²+2x－1)}//

 ・(cos 2x)’=－2sin2x//                  

 ・(cos ²x)’=－2cosx sinx=－sin2x// 

 ・(cos x²)’=－sin x²(x²)’=－2xsin x²//                                                     

 ・(cos ³x)’=3cos²x (cosx)’=－3cos²xsinx// 

 ・(cos ⁴x)’=4cos²x (cosx)’=－4cos³xsinx// 

 ・(cos²4x)’=2cos4x(cos4x)’=2cos4x(－sin4x)(4x)’=－8cos4xsin4x

          =－8(1/2){sin(4x+4x)－sin(4x－4x)}=－4sin8x//

                ☞〔積・和〕cosαsinβ=(1/2){sin(α+β)－sin(α－β)}を使用

　       　〔別解〕(cos²4x)’=(1+cos8x)/2=(－1/2)sin8x(8x)’=－4sin8x//                  

       ☞〔半角〕・cos²(x/2)=(1+cosx)/2, sin²(x/2)=(1－cosx)/2を使用  

・{cosx/√x}’={(cosx)’・√x}－{cosx・(√x)’}/x={(－sinx)・√x}－{cosx・(1/2√x)/x}

           =(1/x)・{－sinx・√x×2√x－cosx}/(2√x)={－2xsinx－cosx}/(2x√x)//

・{cos(3x+1)}’=－3sin(3x+1)//                                                                

・{cos(sinx)}’=－{sin(sinx)}(sinx)’=－{sin(sinx)}cosx//

・{cosx/(1－sinx)}’={(cosx)’(1－sinx)－(cosx)(1－sinx)’}/(1－sinx)²

   ={(－sinx)(1－sinx)－(cosx)(－cosx)}/(1－sinx)²

   =(－sinx+sin²x+cos²x)/(1－sinx)²=(1－sinx)/(1－sinx) ²=1/(1－sinx)//

・{(1－sinx)/(1+cosx)}’={ (1－sinx)’(1+cosx)－(1－sinx)(1+cosx)’}/(1+cosx)²

   ={(－cosx)(1+cosx)－(1－sinx)(－sinx)}/(1+cosx)²

   =(－cosx+cos²x+sinx－sin²x)/(1+cosx)²=(sinx－cosx－1)/(1+cosx) ²//

・{cos²(2－x)}’=2cos(2－x)・{cos(2－x)}’=2cos(2－x)・[－{－sin(2－x)}]

         =2cos(2－x)・sin(2－x)//

・(2^x cosx)’=(2^x)’cosx+2^x(cosx)’=(2^x log 2)cosx+2^x(－sinx)= 2^x (log 2・cosx－sinx)//

　　　・{√(1+cos²x)}’=(1/2)(1+cos²x)^－1/2(1+cos²x)’={2cosx(cos²x)’}/{2√(1+cos²x)}

               ={2cosx(－sinx)}/{2√(1+cos²x)}=(－sinxcosx)/{2√(1+cos²x)}

   =(－sin2x)/{2√(1+cos²x)}//

・(sinx cosx)’=(sinx)’cosx+sinx(cosx)’=cosxcosx－sinxsinx=cos2x//      　

・(sinx cos²x)’={sinx(1－sin²x)}’={sinx－sin²x}’=cosx－3sin²x(sinx)’

   =cosx－3sin²xcosx=cosx－3(1－cos²x)cosx=3cos³x－2cosx//          

・{sin(cosx)}’=cos(cosx)(cosx)’= cos(cosx)(－sinx)=－sinxcos(cosx)//         

・(2sinx cosx)’=2{(sinx)’cosx+sinx(cosx)’}=2(cos²x－sin²x)=2cos2x//          

・(sin²xcos³x)’=(sin²x)’cos³x+sin²x(cos³x)’=(2sinxcosx)cos³x+sin²x(－3cos²xsinx)

         = sinxcos²x(2cos²x－3sin²x)//

・(sin⁴xcos⁴x)’:　☞(1) (sin⁴x)’cos⁴x+sin⁴x(cos⁴x)’

        =(4sin³xcosx)cos⁴x+sin⁴x(4cos³x)(－sinx)

        =4sinxcos⁵x－4sin⁵xcos³x=4sin³xcos³x(cos²x－sin²x): ここで

　　　　*積和の公式sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α－β)} より

sinxcosx=(1/2){sin(x+x)+sin(x－x)}=(1/2)(sin2x+sin0)=(1/2)sin2x,

∴sin³xcos³x ={(1/2)sin2x }³=(1/8)sin³2x  ①

また倍角公式cos2x=cos²x－sin²xよりcos²x－sin²x =cos2x ②

    ①②より与式=(1/2)sin³2xcos2x=(1/2)sin²2x(sin2xcos2x):

ここで積和の公式sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α－β)}より

sin2xcos2x=(1/2)(sin4x+sin0)=(1/2)sin4x

よって与式=(1/2)sin²2x・(1/2)sin4x=(1/4)(sin²2x)sin4x//

  (sinxcosx)⁴={(1/2)sin2x}⁴=(1/16)sin⁴2x:

  {(1/16)sin⁴2x }’=(1/16)・4sin³2x・(sin2x)’=(1/16)・4sin³2x・(2cos2x)

=(1/2)sin³2xcos2x

=(1/2)sin²2x(sin2xcos2x): 倍角公式sin2x=2sinxcosxよりsin4x=2sin2xcos2x

=(1/2)sin²2x(sin4x)=(1/2)sin²2xsin4x//

・{sin(x+α)}’=(sinxcosα+cosxsinα)’〔加法定理〕

                 =(sinx)’cosα+sinx(cosα)’+(cosx)’sinα+cosx(sinα)’

=cosxcosα－sinxsinα=cos(x+α)//　                        

    〔別解〕{sin(x+α)}’=cos(x+α)(x+α)’=cos(x+α)//　

             …合成関数の微分y’=f ’(u)・u’ より

　　　・[sin²{2x+(π/6)}’=2sin{2x+(π/6)}・[sin{2x+(π/6)}]’

=2sin{2x+(π/6)}・cos{2x+(π/6)}・{2x+(π/6)}’

=2sin{2x+(π/6)}・cos{2x+(π/6)}・2       倍角sin2α=2sinαcosαより

=2sin2{2x+(π/6)}= 2sin{4x+(π/3)}//                                             

　　　・[sin²{3x+(π/6)}’=2sin{3x+(π/6)}・[cos{3x+(π/6)}・3]’ 

=6 sin{3x+(π/6)}・[cos{3x+(π/6)}        倍角sin2α=2sinαcosαより

=3sin2{3x+(π/6)=3sin{6x+(π/3)}//

　　　・{sin5xcos3x}’=(sin5x)’(cos3x)+(sin5x)(cos3x)’

                          =(5cos5x)(cos3x)+(sin5x)(－3sin3x)

              =5cos5xcos3x－3sin5xsin3x//

・(sin⁴xcos4x)’=(sin⁴x)’cos4x+sin⁴x(cos4x)’

                   =4sin³x(sinx)’cos4x+ sin⁴x(－sin4x)(4x)’]

                         =4sin³x(cosx)cos4x－4sin⁴xsin4x=4sin³x(cosxcos4x－sinxsin4x)

         ここで加法定理cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβより                 

　　　　　　4sin³x(cosxcos4x－sinxsin4x)=4sin³xcos(x+4x)=4sin³x cos5x//

・(sin⁵xcos5x)’=(sin⁵x)’cos5x+sin⁵x(cos5x)’

                   =5sin⁴x(sinx)’cos5x+ sin⁵x(－sin5x)(5x)’]

                         =5sin⁴x(cosx)cos5x－5sin⁵xsin5x=5sin⁴x(cosxcos5x－sinxsin5x)

         ここで加法定理cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβより                 

　　　　　　5sin⁴x(cosxcos4x－sinxsin4x)=5sin⁴xcos(x+5x)=5sin⁴x cos6x//

　　　・{cosx/(1－sinx)}’={(cosx)’(1－sinx)－cosx(1－sinx)’}/(1－sinx)²　ここで

　　　　分子=－sinx(1－sinx)－cosx(－cosx)=sin²x+cos²x－sinx=1－sinx 

　　　　             よってy’=(1－sinx)/(1－sinx)²=1/(1－sinx)//

　　　・(tanx)’=(sinx/cosx)’={cosxcosx－sinx(－sinx)}/(cos²x)=1/cos²x//

・(1+tanx)’=1/cos²x//                  

・(tan4x)’=4/cos²4x//  

・(tan²x)’=2tanx(tanx)’=2tanx・(1/cos²x)=2tanx/cos²x//       

・(tan x²)’=(2x)/cos²x²//

・(tan³x)’=3tan²x・(tanx)’=3tan²x・(1/cos²x)= 3tan²x /cos²x//  

・(tan x³)’=(3x²)/cos²x³//

　　　・(tan⁴x)’=4tan³x(tanx)’=4tan³x・(1/cos²x)=4tan³x/cos²x//

　　　・(tanx－x)’=(1/cos²x)－1=(1－cos²x)/cos²x=sin²x/cos²x=tan²x//

　　　・{tan(4x－3)}’=1/{cos²(4x－3)}・(4x－3)’=4/{cos²(4x－3)}//            

　　　・{tan(5x²－3x)}’=1/{cos²(5x²－3x)}・(5x²－3x)’=(10x－3)/{cos²(5x²－3x)}//             

　　　・{tan(sinx)}’=(sinx)’/cos²(sinx)=cosx/cos²(sinx)//

　　　・(1/tanx)’=(cosx/sinx)’={－sinxsinx－cosx(－cosx)}/(sin²x)=－1/sin²x//

　　　・{1/tan(1－2x)}’=－1/{sin²(1－2x)}・(1－2x)’=2/{sin²(1－2x)}//

　　　・{tanx/(1+tanx)}’={(tanx)’(1+tanx)－(tanx)(1+tanx)’}/(1+tanx)²  …(u/v)’

                ={(1/cos²x)・(1+tanx)－tanx・(1/cos²x)}/(1+tanx)²

                ={(1/cos²x)( 1+tanx－tanx)}/ (1+tanx)²=1/{cos²x(1+tanx)²}//            

　　　・[{tanx+(1/tanx)}²]’=2{tanx+(1/tanx)}{tanx+(1/tanx)}’　…xⁿ

            =2{(sinx/cosx)+(cosx/sinx)}{(1/cos²x)－(1/sin²x)}　通分すると             

            =2・{(sin²x+cos²x)/(sinxcosx)}・{( sin²x－cos²x)/(sin²xcos²x)}

            =2・{－(cos²x－sin²x)/(sin³xcos³x)}　

         分母･分子に8を掛けて分母を(2 sinxcosx)³にすると

                          2・{－(cos²x－sin²x)/(sin³xcos³x)}=－16cos2x/(2sinxcosx)³

            =－16cos2x/(sin³2x)//

    〔別解〕はじめからtanxをsinx/cosxに書き換えると

    y={(sinx/cosx)+(cosx/sinx)}²=(1/sinxcosx)²=(2/2sinxcosx)²=(2/sin2x)²

  =4/sin²2x よってy’={4’sin²2x－4(sin²2x)’}/(sin²2x)²            

  ={0－4・2sin2x(sin2x)’}/sin⁴2x={－4・2sin2x・cos2x(2x)’}/sin⁴2x

  =－16cos2x/sin³2x//

　　　・{√(1+sin²x)}’ =(1+sin²x)^1/2=(1/2)(1+sin²x)^－1/2・(1+sin²x)’

  =(1/2)(1+sin²x)^－1/2・(2sinxcosx)=(sin2x)/{2√(1+sin²x)}//　…倍角公式

    〔別解〕y=√(1+sin²x), 両辺を2乗すると、y²=1+sin²x,                

  両辺をxで微分すると(dy/dx)・(2y)=2sinxcosx,

      ∴dy/dx =(2sinxcosx)/(2y)=(sin2x)/{2√(1+sin²x)}//　…倍角公式

・{√(1－tan²x)}’=(1－tan²x)^1/2=(1/2)(1－tan²x)^－1/2(1－tan²x)’     …xⁿ

             ={－2tanx・(1/cos²x)}/2√(1－tan²x)

             =(－2tanx)/[2√(1－tan²x)・cos²x]

             =－tanx / {cos²x・√(1－tan²x)}//                                                   

     〔別解〕y=√(1－tan²x):両辺を2乗すると、y²=(1－tan²x)                        

    両辺をxで微分すると、2y・(dy/dx)=－2tanx/cos²x

      ∴(dy/dx)=－2tanx/(2y・cos²x)=－2tanx/{2√(1－tan²x)・cos²x}         

       =－tanx / {cos²x・√(1－tan²x)}//

 　　・{√2sin(5x/2)・cos(x/2)}’:  ☞和と積の公式sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α－β)}より

              　√{2sin(5x/2)・cos(x/2)}=√{2・(1/2) [sin{(5x/2)+(x/2)}+sin{(5x/2)－(x/2)}]}

                                       =√(sin3x+sin2x)=(sin3x+sin2x)^1/2　                                  

したがって{√2sin(5x/2)・cos(x/2)}’={(sin3x+sin2x)^1/2 }’            

     =(1/2)(sin3x+sin2x)^－1/2(sin3x+sin2x)’

     =1/{2√(sin3x+sin2x)}・{cos3x・(3x)’+cos2x・(2x)’}                            

     =(3cos3x+2cos2x)/{2√(sin3x+sin2x)}//                                       

     ・{sin(x+a)cos(x－a)}’ (a, bは定数):　(uv)’=u’v+uv’より、

   与式=cos(x+a)cos(x－a)+sin(x+a){－sin(x－a)}

 = cos(x+a)cos(x－a)－sin(x+a)sin(x－a):

加法定理cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβより

与式=cos{(x+a)+(x－a)}=cos2x//

    〔別解〕積と和の公式sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α－β)}より

   sin(x+a)cos(x－a)=(1/2)[sin{(x+a)+(x－a)}+sin{(x+a)－(x－a)}]

   =(1/2)(sin2x+sin2a) ∴{sin(x+a)cos(x－a)}’={(1/2)(sin2x+sin2a)}’

   ={(1/2)(sin2x)+(1/2)(sin2a)}’= (1/2)・2cos2x=cos2x//←(1/2)(sin2a)は定数

     ・[sinx/{√(a²cos²x+b²sin²x)}]’ (a, bは定数): ☞分母をtとおくとy=(sinx)/t

            y’={(sinx)’t－(sinx)t’}/t²①ここでt’={√(a²cos²x+b²sin²x)}’

(a²cos²x+b²sin²x)’/{2√(a²cos²x+b²sin²x)}: (cos²x)’=2cosx(cosx)’=－2cosxsinx,

(cos²x)’=2sinx(sinx)’=2sinxcosx  

    よってt’=(－2a²sinxcosx+2b²sinxcosx)/{2√(a²cos²x+b²sin²x)}

     ={(b²－a²)sinxcosx}/{√(a²cos²x+b²sin²x)} 

①にt’, tを代入すると、 ①の分子は

cosx{√(a²cos²x+b²sin²x)}－[{(b²－a²)sin²xcosx}/{√(a²cos²x+b²sin²x)}]

      よってy’=cosx [{(a²cos²x+b²sin²x)}－{(b²－a²)sin²xcosx}]/{√(a²cos²x+b²sin²x)³}]:

             ここで、分子=cosx{(a²cos²x)+(b²sin²x)}=cosx(a²・1)=a²cosx　

　　　　      したがってy’=( a²cosx)/{√(a²cos²x+b²sin²x)³}//