≪順列の計算公式≫Permutations:

         ・_nP_r = n(n－1)(n－2)…(n－r+1) = n!/(n－r)! (n≧r), 

・_nP₀ =1　 　・_nP₁=n  　・_nP_n=n! 　 ・階乗!(0!=1)　     (cf)_nC₀=1 ・_nC₁=n ・_nC_n=1 

〔参考〕!!（1つおきの階乗）10!!=10・8・6・4・2

 ≪階乗の値≫

     ☞4!=24  /  5!=120  /  6!=720  /  7!=5,040  /   8!=40,320  /  9!=362,880 /

       10!=3,628,800  /  11!=39,916,800  /  12!=479,001,600  /  13!=6,227,020,800  / 

       14!=87,178,291,200  /  15!=1,307,674,368,000  /  16!=20,922,789,888,000  / 

       17!=355,687,428,196,000  /  18!=6,402,373,705,728.000  / 

       19!=121,645,100,408,732,000  /  20!=2,432,902,008,176,940,000

　○等式を満たすnの値を求める:

　　　　(1)_nP₃=30n: 

n!/(n－3)! =30n, n(n－1)( n－2)=30n, n(n²－3n+2)=30n, n³－3n²－28n=0, 

n(n²－3n－28)=0, n(n－4)(n+4)=0, n≧3よりn=7// 

(2) _nP₅=12 _nP₃: 

n!/(n－5)! =12・n!/(n－3)!, n(n－1)(n－2)( n－3)(n－4)=12n(n－1)(n－2), 

n( n－3)(n－4)=12, n(n－7)=0, n≧5よりn=7// 

≪順列のまとめです≫

　　　　〔例1〕13枚の異なったｶｰﾄﾞの中の3枚をA, B, Cの3人に1枚ずつ配る場合：☞₁₃P₃ 

 

 

　　　　〔例2〕男子4人、女子4人が1列に並ぶとき、 

(1) 全員が1列に並ぶ場合の総数： 

  ☞8人全員が1列に並ぶことと同じだから、8!=40320// 

                (2)男子と女子が1人おきに並ぶ場合の総数： 

　　　　　　　　☞男女の並び方は、それぞれ₄P₄×₄P₄　 

先頭には男子がくるときと女子がくるときがあるので2 通り。 

よって、(₄P₄×₄P₄)×2＝1152 // 

 

　　　　〔例3〕男子5人、女子3人が1列に並ぶ場合:　                                          

             ①女子3人が全員隣り合う: 

☞○[△△△]○○○○　₃P₃（女子3人）×₆P₆=4320 // 

   ②両端に男子がくる: 

☞[○]△○△△○○[○] ₅P₂（両端の男子）×₆P₆=14400　// 

   ③両端の少なくとも1人は女子： 

   ☞すべての場合から両端が男子の場合を引くと₈P₈－₅P₂×₆P₆=25920 // 

   ④特定の１人の男子の両隣には必ず女子が並ぶ（特定の男子は考えなくてもよい）： 

   ☞{[△][○][△]}△○○○○「女・特定の男子・女・その他の5人」 

　　　　₃P₂（特定の男子の両隣の女子）×₆P₆（{女・特定の男子・女}を１つと見る） 

　　　　　   ⑤男子5人が続いて並ぶ： 

                ☞△[○○○○○]△△ ₄P₄×₅P₅（男子5人）=2880 // 

　　　　　   ⑥男子は男子、女子は女子でそれぞれ続いて並ぶ： 

                ☞[○○○○○] [△△△] ₂P₂×₅P₅×₃P₃=1440 //                                   

            ⑦どの女子も隣り合わない： 

   ☞△○△○△○▽○▽○▽のように男子○5人が並んでいる間の△に女子3人が入る。 

   ₅P₅（男子5人）×₆P₃（女子3人）=14400　//

 

〔例4〕男子3人、女子3人が1列に並ぶ場合:                                          

           ①男女が交互に並ぶ: 

☞　₃P₃（女子3人）×₃P₃（男子3人）×2（左に男または女がくる）=72 // 

 ②両端に男子がくる:　☞₅P₂（両端の男子）×₆P₆

 

          〔例5〕5人乗りの乗用車に5人が乗車してﾄﾞﾗｲﾌﾞするとき、何通り： 

　　　　　 　①5人全員が運転免許を持っているとき：☞₅P₅ 

　　　　　　 ②5人のうち3人だけが運転免許を持っているとき： 

☞運転席に座る人が3通り。残りの4つの席に座る方法は₄P₄より、3×₄P₄ 

   　　　  ③5人のうち2人だけが運転免許を持っているとき： 

☞運転席に座る人が2通り。残りの4つの席に座る方法は₄P₄より、2×₄P₄

 

 ≪整数を作る順列≫  （n桁・倍数・n番目・数字のｶｰﾄﾞを並べる） 

〔例1-1〕から9までの数字を1つずつ書いた9枚のｶｰﾄﾞの中から3枚のｶｰﾄﾞを取り出して、 

　大きい順に並べると何通り： 

☞3枚のｶｰﾄﾞを取り出して大きい順に並べると並べ方は1通り　　よって求める総数は、 

9枚から3枚取り出す組合せと同じ個数になるから、₉C₃=84通り//　注意 

 

〔例1-2〕1から9までの9種類の数字の中から4個を選んで整数を作り、千の位、百の位、 

十の位、一の位をそれぞれa≦b≦c≦dとする。 

このときa≦b≦c≦dとなる場合は何通り： 

☞1~9の中から重複を許して4個を選び、小さい順にa, b, c, dとする。 

例えば、1|2|3|4|5|66|7|8|9の場合、4668となり、 

4個の　と8個の「|」の合計12の並び方を考えると₁₂C₄=495通り//　注意 

〔別解〕1≦a≦b≦c≦d≦9を1≦a<b+1<c+2<d+3≦12と考えると 

1~12の中から4個選ぶことになるので、₁₂C₄=495通り//

 

〔例2〕4個の数字0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許して4桁の整数を作るとは何通り: 

　　また、その中で偶数であるものは何通り: 

☞4桁の整数は千の位に0は来ないので3×4×4×4=192通り// 

偶数であるものは一の位に0か2の2通り。よって、3×4×4×2=96通り//

 

〔例3〕6個の数字　1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる4個を並べてできる3000以上の数： 

　　　　 ☞3000以上となるのは、千の位が3, 4, 5, 6の4通りだから、 

残り3つの数字の並べ方は、5個から、3個取る順列になる。　4×₅P₃＝240

 

　　　〔例4〕5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる次のような自然数の個数を求める: 

　　　　　　（0）3桁の偶数：

☞百の位には0以外の4通り、一の位には0,2,4の3通り、 

十の位には5通りすべての数字が来るので、求める総数は4×5×3=60通り// 

             (1)3桁の奇数： 

☞一の位は1, 3の2通り。百の位は一の位で使わなかった数と0以外の3通り。 

十の位は残りの3通り。よって2×3×3=18通り// 

             (2)3の倍数: 

☞①(0, 1, 2),(0, 2, 4)の場合は百の位が2通り。下2桁は₂P₂。よって(2×₂P₂)×2=8 

②(1, 2, 3),(2, 3, 4)の場合は₃P₃×2=12したがって8+12=20通り// 

　　　　　　（3）4桁の数： 

            ☞千の位の数は0以外の数字1, 2, 3, 4のどれかを使うので4通り。 

百の位、十の位、一の位の数字は、 

0と千の位で使った1, 2, 3, 4のどれか1つを除く、4個の数字から3個を選んで 

並べるから₄P₃。よって求める自然数の個数は4×₄P₃=96通り// 

　　　　　　（4）4桁の奇数： 

☞一の位の数字は1, 3のどちらかを使うので2通り。

   千の位の数字は1, 2, 3, 4から一の位で使った数字を除く3通り。

   百の位、一の位の数は0, 1, 2, 3, 4から一の位と千の位で使った数字を除く3つの数字から

   2つを選んで並べるから₃P₂(=6通り)。よって求める自然数の個数は2×3×₃P₂=36通り// 

　　　　　　（5）4桁の偶数： 

              ☞一の位の数に0, 2, 4のどれかを使うので、分類してもよいが、（1）と（2）より、 

すべての4桁の自然数から4桁の奇数を除くと残りが4桁の偶数になるので、 

96－36=60通り//　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重要 

　　　　　　（6）5桁の偶数：一の位の数字は0, 2, 4のどれかを使う。 

　　　　　　　　①一の位の数字が0のときは、一の位以外の4つの位に1, 2, 3, 4のどれかを使うので、 

4!=24通り。 

　　　　　　　　②一の位の数字が2のとき、万の位は1, 3, 4のどれかを使うので3通り。 

千の位、百の位、十の位には0, 1, 3, 4から万の位に使った数字を除く3個の数字を 

使って並べるから3!。 

よって一の位が2である5桁の偶数の個数は1×3×3!=18通り  　　　　

            ③一の位の数字が4のときは、②の一の位が2のときと同様にして18通り。

　　　　　　　　　したがって、①②③より求める自然数の個数は24+18+18=60通り//

 

〔例5〕3個の数字1, 2, 3から、繰り返して用いることを許して4個取って1列に並べる。 

4個の数の和が5の倍数になるような並べ方は何通り： 

　  ☞4個の和で最も大きい値は3×4=12であるから、

     和が5の倍数になるのは和が5または10のときである。 

①和が5のとき、4個の数の組み合わせは(1, 1, 1, 2)である。 

これら4個の並べ方は4!/(3!1!)=4通り。 

②4個の数のわが10のとき、4個の数の組み合わせは(1, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 3)である。 

これらの並べ方は、{4!/(1!3!)}+{4!(2!2!)}=4+6=10通り。              

            ①②より求める並べ方の総数は4+10=14通り// 

 

〔例6〕赤いｶｰﾄﾞと白いｶｰﾄﾞ 

　　（問1）1から9までの数字が書かれた白いｶｰﾄﾞが1枚ずつ合計9枚あり、 

1から3までの数字が書かれた赤いｶｰﾄﾞが3枚ずつ合計9枚ある。 

これら18枚から何枚かを取り出して横に一列に並べる。 

ただし、同じ数字の赤いｶｰﾄﾞは区別しない。　　　日大（理工） 

　①2枚並べる並べ方は、全部で何通り:　　

     ☞(i)[白・白]のとき、₉P₂=9・8=72 

(ii)[赤・赤]のとき、赤の同じ数字は区別しないことから、 

3×3=9 (iii)[赤・白],[白・赤]のとき、[赤(3)・白(9)],[白(9)・赤(3)]となるので、 

3×9+9×3=54　　　よって72+9+54=135通り// 

　②[赤・白・赤]の順に3枚並べる並べ方は、全部で何通り: 

    ☞[赤(3)・白(9)・赤(3)]となるので、3×9×3=81通り// 

　③3枚並べる並べ方は、全部で何通り: 

   ☞(i)[白・白･白]のとき、₉P₃=9・8・7=504  

(ii)[白2枚・赤1枚]のとき、[白2枚]は₉P₂=9・8=72通りある。 

[赤1枚]は赤の位置は3通りあり、赤のｶｰﾄﾞは₃C₁=3通りあるので₉P₂×3×₃C₁=648 

   (iii)[白1枚・赤2枚]のとき、[白1枚]は、白の位置が3通りあり、 

白のｶｰﾄﾞは₉P₁=9通りある。[赤2枚]は3×3=9 よって(3×9)×(3×3)=243 

             (iv)[赤3枚]のとき、3³=27  よって504+648+243+27=1422通り// 

（問2）5枚の赤いｶｰﾄﾞのそれぞれに1, 2, 3, 4, 5という数字が書いてあり、 

ｶｰﾄﾞに書かれている数字は重複しないものとする。また、5枚の白いｶｰﾄﾞにも、 

赤いｶｰﾄﾞと同じように1, 2, 3, 4, 5という数字が書かれている。 

これら10枚のｶｰﾄﾞの中から3枚を選ぶ。　　日大（薬） 

　①赤いｶｰﾄﾞだけを3枚選んで、そこに書かれている3個の数字をすべて使ってできる 

3桁の整数は何通り： 

☞赤3枚を選んで並べるから、₅P₃=60通り// 

　②赤いｶｰﾄﾞを2枚、白いｶｰﾄﾞを1枚選ぶとき、白いｶｰﾄﾞに書かれている数字が、 

2枚の赤いｶｰﾄﾞのどちらかに書かれている数字と一致する選び方は何通り： 

☞白の出方は1~5の5通り。 

赤の出方は(12, 13, 14, 15), (21, 23, 24, 25), (31, 32, 34, 35), 

(41, 42, 43, 45)の4通り。5×4=20通り// 

　③赤いｶｰﾄﾞを2枚、白いｶｰﾄﾞを1枚選んで、そこに書かれている3個の数字を 

すべて使ってできる3桁の整数は全部で何通りか。 

ただし、3桁の整数は、数字が書かれているｶｰﾄﾞの色の違いを問わない。 

つまり、（赤1・白1・赤5）と（赤1・赤1・白5）は同じと見なす： 

  ☞ (i)赤と白とで一致する数字が含まれている場合:　②より20通り。 

さらに(白赤赤)(赤白赤)(白白赤)の場合があるので20×3=60 

      (ii)赤と白とで一致する数字が含まれない場合：白の出方が1~5の5通り。 

赤の出方が白で出た数字以外の4通りから2つ選んで並べるので、5×₄P₂=60通り。 

　　　したがって(i), (ii)より60+60=120通り//

 

〔例7〕6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6の中の異なる数字を使ってできる4桁の数のうち 

4300より大きい数の個数： 

☞(i) 43□□となる場合₄P₂=12       (ii)45□□となる場合₄P₂=12   

  (iii)46□□となる場合₄P₂=12       (iv) 5□□□となる場合₅P₃=60 

           (v) 6□□□となる場合₅P₃=60 これらを加えて156通り //

 

〔例8〕5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中の異なる数字を使って4桁の数を作ると何通り： 

（1）3200より大きい数の個数：☞全体から3200以下を引く場合 

(i) 1□□□となる場合₄P₃=24  (ii)2□□□となる場合₄P₃=24    

(iii)31□□となる場合₃P₂=6  (iv) □□□□となる場合₅P₄=120 

               したがって120－(24+24+6)=66通り// 

　　　　 　（2）4000より大きい偶数の個数： 

              ☞4□□2, 5□□2, 5□□4より₃P₂×3=18通り//

 

〔例9〕4個の数字0, 1, 2, 3から、異なる3個を選んで並べて3桁の整数を作るときの個数： 

　　  ☞一の位に0がくるときは1, 2, 3から異なる2個を選んで並べるから₃P₂ =6通り 

  　　一の位に2がくるときは百の位には2, 0以外の2通り　 

     十の位には2と百の位の数以外の2通り　したがって求める個数は2×2+6=10個 //

 

〔例10〕0, 1, 2, 3, 4の数字を書いた5枚のｶｰﾄﾞがある。これらを並べるとき、 

　　　①3桁の整数の個数：☞百の位に0がこないので4×4×3=48通り // 

　　　②3桁の偶数の個数： 

☞ (i) 一の位に0がくる場合4×3=12　 

(ii) 一の位に0がこない場合、一の位には2, 4の2通りの場合があるので3×3×2=18 

よって求める個数は12+18=30通り // 

　　　③3桁の3の倍数となる個数： 

        ☞各位の数の和が3の倍数になればよいから、(0, 1, 2)となる場合が2×2＝4 

　　　　　(0, 2, 4) となる場合が2×2＝4  (1, 2, 3)は3!=6  (2, 3, 4)は3!=6 

      よって求める個数は4+4+6+6=20通り //                                                   

 

〔例11〕6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の数字を1つずつ使ってできる6桁の整数を小さい方から

    順に並べるとき、 

①1番目の整数：☞102345 // 

②7番目の整数：☞上3桁が102であるものは、下3桁に3, 4, 5を並べたものであるから、

 3 != 6個ある。よって7番目の整数は、上3桁が103であるもののうちの最小の数で103245 // 

③300番目の整数：☞最上位が1または2であるものは全部で2×5!= 240個。

  上2桁が30または31であるものは全部で2×4!=48個。

  上3桁が320または321であるものは全部で2×3!=12個。

  よって240+48+12=300。

  300番目の整数は上3桁が321であるもののうち最大のものだから321540 // 

④453201は何番目か：☞題意の整数は全部で5×5!= 600個。

  その中で最上位が5のものは5!= 152個。最上位が4で最大であるものは453210。 

  次が453201となるから、543201は前から数えると600－120－2+1=479番目//

 

〔例12〕7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から、異なる5個を選んで並べて5桁の整数を作るとき 

奇数の個数:  ☞一の位には、1, 3, 5のどれかがくるから3通り（₃P₁）　 

万の位には、一の位と0以外の5個の数のうちのどれかがくるから5通り（₅P₁）　 

その他の位は残りの5個から3個を選ぶので₅P₃ 

したがって求める個数は3×5×₅P₃=500個 //

 

〔例13〕7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から、異なる4個を選んで並べて4桁の整数を作るとき、 

4500より大きい奇数の個数: 

     ☞(i) [45□奇]より、奇には1, 3の2通り。□には「4, 5と奇に使う数字」以外の4通り。

4×2=8// 

  (ii) [46□奇]より、奇には1, 3, 5の3通り。□には「4, 6と奇に使う数字」以外の4通り 

4×3=12// 

  (iii) [5□□奇] より、□には「5と奇に使う数字」以外の5個から2個選んで並べるから₅P₂。 

奇には1, 3の2通り。　よって₅P₂×2=40  //                                            

      (iv) [6□□奇] より、□には6以外の5個から2個選んで並べるから₅P₂。 

奇には1, 3, 5の3通り。₅P₂×3=60　したがって総数は8+12+40+60=120通り.// 

 

    〔例15〕8個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8のすべてを左から順に1列に並べるとき: 

       ①1と2が左から3番目までに並ぶ並べ方：                              

         ☞□□□xxxxxより、□□□には○○△、○△○、△○○のように○に1か2がくるので 

6通り（₃P₂）。△には1, 2以外の数字が6通りくる。                                        

          xxxxxは残りの5種類の数字を並べるので₅P₅　したがって、6×6×₅P₅=4320// 

　　　②1と2と3は左から4番目までに並び、6と7と8は左から5番目以降にあるような並べ方: 

          ☞□□□□xxxxより、□□□□が₄P₄、xxxxが₄P₄　　 

□□□□にもxxxxにも、□□□4, □□4□, □4□□, 4□□□,5xxx, x5xx, xx5x, xxx5 

のように4か5が入り、2通り　（□には1と2と3が並び、xxxには6と7と8が並ぶ）　 

したがって、₄P₄×₄P₄×2=1152通り//

 

〔例16〕4桁の整数nの千の位、百の位、十の位、一の位を、それぞれa, b, c, dとする　 

①a>b>c>dとなる場合: ☞₁₀C₄=210通り// 

②a<b<c<dとなる場合:  

☞a=0となる場合はないから、1~9の9個の数字から異なる4個を選んで、   

              小さい方から順にa, b, c, dとすると、求める個数は₉C₄=126通り// 

③a≧b>c>dとなる場合:　　　　　　　　

           ☞(i) a>b>c>d となる場合：₁₀C₄=210  

                 (ii) a=b>c>dとなる場合：a=bより、₁₀C₃=120 ゆえに210+120=330         

             〔注意〕条件つきの数字の場合はC（組合せ）                                       

 

〔例17〕1から9までの整数から、異なる3つの数を取り出したとき、次の場合は何通りあるか。 

　　　①奇数を少なくとも1つ含む。： 

        ☞1から9までの9つの整数から、3つの数を選ぶ場合の数から、 

2, 4, 6, 8の4つの偶数から3つの数を選ぶ場合の数を引くと、₉C₃－₄C₃=84－4=80通り// 

　　　②最大の数が6になる。： 

☞最大の数である6を選び、さらに1から5までの整数から2つの整数を選ぶと₅C₂=10通り//

 

〔例18〕1から10までの整数a₁ a₂ a₃ a₄ a₅……a₁₀の順列で、 

条件a₁<a₄<a₇<a₁₀,  a₂<a₅<a₈,  a₃<a₆<a₉をすべて満たすものは何通りか：　 

  ☞10個の整数を4個, 3個, 3個の3つのｸﾞﾙｰﾌﾟA, B, Cに分けて、 

小さいものから順に 

Aからa₁, a₄, a₇, a₁₀,  Bからa₂, a₅, a₈,  Cからa₃, a₆, a₉を決めると、 

条件をすべて満たす順列ができる。 

よって、その順列の総数は₁₀C₄×₆C₃×₃C₃=4200通り //

 

　　　〔例19〕problemの7文字すべてを使ってできる順列について、 

pがbより左にあり、pとbの間に文字が2つあるものの総数を求める： 

☞□にp,ｂ以外の文字が入ると考えると、pがbより左にあり、 

pとbの間に文字が2つある場合は次の4通りある。 

p□□b□□□, □p□□b□□, □□p□□b□, □□□p□□b　 

これらの4つの形の順列は5!×4=120×4=480通り//

 

〔例20〕3種の文字a, b, cを繰り返し用いてn個の文字からなる列を作るとき 

　　　a, b, cがすべて含まれている列は何通り: 

    ☞(i) 2種類の文字a, bを繰り返して用いてn個の文字からなる列を作ると、 

その総数は2ⁿ通り。このうち1種の文字だけを用いるものは(a, a), (b, b)の2通り。 

したがって、a, bの両方が含まれている列は（2ⁿ－2）通り。 

(ii) 3種の文字をa, b, c繰り返し用いてn個の文字からなる列を作るとその総数は3ⁿ個。 

このうち2種の文字だけを用いるものは、₃C₂(2^ｎ－2)= 3(2^ｎ－2)通り。 

(iii)　1種の文字だけを用いるものは、3通り。                                                

          (iv) (i)~(iii)より3種の文字a, b, cがすべて含まれている列は、 

　　3ⁿ－3(2^ｎ－2)－3=3ⁿ－3・2ⁿ+3通り//　 

（n人が3つの部屋A, B, Cに入るとき空き部屋がない場合と同じ）区別

 

〔例21〕4種の文字a, b, c, dを繰り返し用いてn個の文字からなる列を作るとき 

　　　a, b, c, dがすべて含まれている列は何通り: 

    ☞(i) 4種の文字a, b, c, dを繰り返し用いてn個の文字からなる列を作ると、 

その総数は4ⁿ通り。このうちa, b, c, dの中の3種の文字だけを用いるものは  

         　₄C₃(3ⁿ－3・2ⁿ+3)=4・(3ⁿ－3・2ⁿ+3)通り  

(ii) 2種の文字だけを用いるものは(1)より₄C₂(2ⁿ－2)=6(2ⁿ－2)通り 

(iii) 1種の文字だけを用いるものは4通り 

(iv) (i)~(iii)より4種の文字a, b, c, dがすべて含まれている列は、 

4ⁿ－4(3ⁿ－3・2ⁿ+3)－6(2ⁿ－2)－4=4ⁿ－4・3ⁿ+6・2ⁿ－4通り//

 

〔例22〕6種類の文字a, b, c, d, e, fを重複を許して1個以上3個以内の記号を並べる。： 

　　　☞①文字を1個並べる総数は6通り。 

②文字を2個並べる総数は6²通り。 

③文字を3個並べる総数は6³通り。よって、求める並べ方は6+36+216=258通り//

 

〔例23〕1,2,3,4,5を書いたｶｰﾄﾞがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。 

これらの15枚のｶｰﾄﾞから4枚を選んで横に一列に並べて4桁の整数を作る。 

異なる整数は全部で何個か。 

また、この整数の中で、同じ数字が2枚まで使われている整数は全部で何個か: 

　 (i)4種類の異なる数字ABCDの場合：   ☞₅P₄=5・4・2・3=120    （日大統一） 

   (ii)3種類の異なる数字AABCの場合： 

☞ABCの選び方は₅C₁×₄C₂, AABCの並び方は 

　　　　4!/2!　よって₅C₁×₄C₂×(4!/2!)=360 

   (iii)2種類の異なる数字で、同じものが3枚AAABの場合： ☞₅C₁×₄C₁×(4!/3!)=80 

　(iv) 2種類の異なる数字で、同じものが2枚AABBの場合： ☞₅C₂×{4!/(2!3!)}=60 

　　　よって120+360+80+60=620個// 

☞また、同じ数字が2枚まで使われている整数の個数は、すべての個数から同じ数字が 

3枚以上のものAAAB（80通り）を引くと求められるので、620－80=540個//

 

〔例24〕A,A,B,C,Dの5文字を横に一列に並べる。並べ方の総数は何通りか。 

また、列の両端にAが現れない並べ方の総数は何通りか:　　　（日大統一） 

☞並べ方の総数は、5!/2!=60通り//両端にAが現れない並べ方は、 

両端がA以外となるのはB,C,D から2つを選ぶ並び方である₃P₂, 

両端が決まると両端以外の3つはAAX, AXA, X AAのXに

両端以外の1つがくるので3通り。よって₃P₂×3=18通り//