≪整式に関係のある問題をあつめました≫
（1）次数･係数・降べき（降巾）順・輪環の順・多項式の加法と減法について!
〔例1〕[ ]の文字に注目したとき、その次数と定数項を求める：
(1) 2a2－ab－b2+4ab+3a2+2b2 [b]
☞与式＝5a2+3ab+b2 よってbに着目するとb2+3ab +5a2 次数2 定数項5a2//
(2) x3－2ax2y+6xy+y2－5by+4a [xとy]
☞次数3 定数項4a [y] 次数2 定数項x3+4a//
〔例2〕次の整式をxについて降べき順に整理する：
(1) 4xy－3y2+2x+x2－3y+6: ☞与式=x2+2(2y+1)x－3(y2+y－2)//
(2)x2+y2+z2－yz－zx－xy: ☞与式= x2－(y+z)x+(y2－yz+z2)//
（2）の場合、定数項の括弧はつけない場合もある
〔例3〕[ ]の文字に注目したとき、その係数を求める：
(cf) (2a－3b)7 [a2b5]での係数を求めるときは、二項定理の一般項7Cr(2a)7－r(－3b)rを使う。
(a4－2ab3－3a2b2－b4)(a3+4a2b－ab2+3b2) [a4b3] [a2b5]
☞[a4b3] の係数: a4×3b2, －2a3b×(－ab2), －3a2b2×4a2b……3+3－12=－7 //
☞[a2b5] の係数: －3a2b2×3b2, －b4×4a2b…….－9－4=－13 /
〔例4〕1/3の次数と係数は： ☞次数 0 / 係数1/3 (1/3を1/3x0と考える）
（2）多項式の乗法
○x2=y2－4y+19を満たす正の整数の組を3組答える：
☞x2=(y－2)2+15に代入して、(x, y)=(4, 1), (4, 3), (8, 9)
○A=x4－4x3+6x2+x+5, B=x2－ax－1, C=x2－x－bのとき、
☞A－BCがxについて1次式となるa, bの値は： a=3, b=－4（係数比較）
（3）指数法則： aman=am+n / (am)n=amn / (ab)n=anbn / a0=1
≪主な公式と実例をまとめました≫Removing parentheses:
○(x+1)(x－1)(x－2)(x－4)= {(x+1)(x－4)}{(x－1)(x－2)}=…
（数字の2項で和または積が同じになる組み合わせを見つける）
○(x+y+z)2 =x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
○(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
〔参考〕(a+b+c+d+…..)2=(a2+b2+c2+d2+….)+2(ab+ac+ad+……+bc+….)
○(a－1)(a2+a+1)=a3－1 / (a－1)3(a2+a+1)3={(a－1)(a2+a+1)}3=(a3－1)3= //
○(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)
=a(a2+b2+c2－ab－bc－ca)+ b(a2+b2+c2－ab－bc－ca)+c (a2+b2+c2－ab－bc－ca)
=a3+b3+c3－3abc //
〔別解〕(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)={a+(b+c)}{a2－(b+c)a+b2－bc+c2}
=a{a2－(b+c)a+b2－bc+c2}+(b+c){a2－(b+c)a+b2－bc+c2}
=a3－(b+c)a2+(b2－bc+c2)a+(b+c)a2+(b+c)(b2－bc+c2)
=a3+{－(b+c)+(b+c)}a2+{(b2－bc+c2)－(b2－2bc+c2)}a+(b+c){(b2－bc+c2)
= a3－3bc・a+b3+c3= a3+b3+c3－3abc //
○(a－b+c)(－a+b+c)(a+b－c)(a+b+c)
= { a－(b－c)}{－a+(b+c)}{ a+(b－c)}{ a+(b+c)}
=－{ a－(b－c)}{ a+(b－c)}{ a－(b+c)}{ a+(b+c)}
=－{ a2－(b－c) 2}{ a2－(b+c) 2}
= [a4－{(b－c) 2(b+c) 2} a2+(b+c) 2(b－c) 2]
=－a4－b4－c4+2 a2 b2+2 b2 c2+2 c2 a2 //
○(x+y－1)(x2－xy+y2+y +1)の展開：
☞公式(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)=a3+b3+c3－3abcに
a=x, b=y, c=－1を代入すると 与式=x3+y3－1+3xy //
○(x2+xy+y2)(x2－xy+y2)(x4－x2y2+y4)=( x2+y2+xy)( x2+y2－xy)( x4－x2y2+y4)
={( x2+y2) 2－x2y2}( x4－x2y2+y4)= ( x4+2x2y2+y4－x2y2) ( x4－x2y2+y4)
= ( x4+x2y2+y4) ( x4－x2y2+y4)={( x4+y4)+x2y2}{( x4+y4)－x2y2}
=( x4+y4) 2－(x2y2)2=x8+x4y4+y8 //
○(a+b+c)2－(b+c－a) 2+(c+a－b) 2－(a+b－c) 2
={(a+b+c)2－(b+c－a) 2}+{(c+a－b) 2－(a+b－c) 2}=(A2－B2)+(C2－D2)
=(A+B)(A－B)+(C+D)(C－D)
={(a+b+c)+(b+c－a)}{(a+b+c)－(b+c－a)}+{(c+a－b)+(a+b－c)}{(c+a－b)－(a+b－c)}
={2(b+c)}・2a+2a・{2(c－b)}=2a{2(b+c)+2(c－b)}=8ca //
○(a+b+c)2－(a－b+c) 2+(a+b－c) 2－(a－b－c) 2の展開：
☞a+b=s, a－b=tとおくと s+t=2a, s－t=2b これを与式に代入：
与式=(s+c) 2－(t +c) 2+ (s－c) 2－(t－c) 2
=(s2+2cs+c2)(t 2+2ct+c2)(s2－2cs+c2)(t 2－2ct+c2)
=2 s2－2 t 2=2(s2－t 2)= 2(s+t) (s－t)=2・2a・2b=8ab //
〔別解〕(a+b+c)2－(a－b+c) 2+(a+b－c) 2－(a－b－c) 2
=( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)－(a2+b2+c2－2ab－2bc+2ca)+
( a2+b2+c2+2ab－2bc－2ca)－(a2+b2+c2－2ab+2bc－2ca)=8ab //
○(a+b+c)3－(b+c－a) 3+(c+a－b) 3－(a+b－c) 3の展開：
☞b+c－a=A, c+a－b=B, a+b－c=Cとおくと、A+B+C= a+b+cとなる
これを与式に代入：
与式= (A+B+C)3－A3－B3－C3
=A3+3A2(B+C)+3A(B+C)2+(B+C)3－A3－B3－C3
=3A2(B+C)+3A(B+C)2+3BC(B+C)=3(B+C){A2+A(B+C)+BC}
=3(B+C)(A+B)(A+C)=3・2a・2c・2b=24abc //
○(x+y+2z)3－(y+2z－x) 3+(2z+x－y) 3－(x+y－2z) 3の展開：
☞P=(x+y+2z)3－(y+2z－x) 3=A3－B3
Q=(2z+x－y) 3－(x+y－2z) 3=C3－D3とすると、
P=(A－B)(A2+AB+B2)
={(x+y+2z)－(y+2z－x)}{(x+y+2z)2+(x+y+2z) (y+2z－x)+(y+2z－x) 2}
=2x{x2+2x(y+2z)+(y+2z)2+(y+2z)2－x2+(y+2z)2－2x(y+2z)+x2}
=2x{3(y+2z)2+x2}
Q=(C－D)(C2+CD+D2)
={(2z+ x－y) +(x+y－2z)}{(2z+ x－y)2－(2z+ x－y) +(x+y－2z)+(x+y－2z)2}
=2x{(2z－y)2+2x(2z－y)+ x2－x2+(2z－y)2+(2z－y)2－2x(2z－y)+x2}
=2x{3(2z－y)2+x2} したがって
与式=P－Q=2x[{3(y+2z)2+x2}－{3(2z－y)2+x2}]=6x・8yz=48xyz //
〔別解〕(x+y+2z)3={x+(y+2z)} 3 /－(y+2z－x) 3 =－{y+(2z－x)} 3 /
(2z+x－y) 3 ={2z+(x－y)}3 / －(x+y－2z) 3={x+(y－2z)} 3 を別々に展開して足す。
○(a+b+c)(－a+b+c)(a－b+c)+( a+b+c)(a－b+c)(a+b－c)+
(a+b+c)(a+b－c)(－a+b+c)－(－a+ b+c)(a－b+c)(a+b－c)の展開：
☞－a+b+c=A, a－b+c=B, a+b－c=C, a+b+c=Dとおくと、
与式=DAB+DBC+DCA－ABC=(DBC+DCA)+(DAB－ABC)
=DC(B+A)+AB(D－C)= (a+b+c)(a+b－c)・2c+(－a+ b+c)(a－b+c)・2c
=2c{(a+b)+c}{(a+b)－c}+{c+(a－b)}{c－(a－b)}
=2c[{(a+b) 2－c2}+{c2－(a－b)2}]=2c・4ab=8abc //
○(x－b)(x－c)(b－c)+(x－c)(x－a)(c－a)+ (x－a)(x－b)(a－b)
=(b－c){x2－(b+c)x+bc}+(c－a){x－(c+a)x+ca}+(a－b){x2－(a+b)x+ab}
=(b－c + c－a + a－b) x2－(b2－c2+ c2－a2+ a2－b2)x
+bc(b－c)+ca(c－a)+ab(a－b)=a2b－ab2+b2c－bc2+c2a－ca2 //
○2(－ab)n+3(－1)n+1anbn+an(－b)n （nは自然数）の展開：
☞与式=2・(－1)n anbn +3・(－1)・(－1) n anbn +an・(－1) n bn
=2・(－1)n anbn －3・(－1) n anbn +an・(－1) n bn
=(2－3+1)・an・(－1) n bn= 0 //
〔問題〕p, q, rがp+q+r=1を満たす正の数のときp2+q2+r2≧1/3を示す:
☞p+q+r=1より(p+q+r)2=1, p2+q2+r2=1/3を変形すると3(p2+q2+r2)－1
=3(p2+q2+r2)－(p+q+r)2=3p2+3q2+3r2－(p2+q2+r2+2pq+2qr+2rp)
=2(p2+q2+r2－pq－qr－rp)=(p－q)2+(q－r)2+ (r－p)2≧0,
よってp2+q2+r2≧1/3が成り立つ//