対数微分法+：（両辺の絶対値の自然対数をとってから、両辺を微分する）
「○●」および「○×◎」を微分する場合、両辺の絶対値の自然対数をとり、
さらに両辺をxで微分する。
（乗法が加法に変換されて、関数の積･商・累乗の計算がらくになる）
自然対数をとって、(log|y|)’=(d/dy)log|y|・(dy/dx)=y’/yの公式からy’を求める方法を
対数微分法という。
・「真数が正であること」が問題に示されていないときは、「絶対値の自然対数」をとる。
真数が正であることが示されているときは、「自然対数」をとるだけでよい。 重要
☞自然対数を単に対数と表すこともある。
(問1) y=log{(x2－1)/(x2+1)}1/2の場合は、既に対数であるから、対数微分法を使わなくてもよい。与式をy=(1/2){log(x2－1)－log(x2+1)}のように変形してから、微分する。
y’=(1/2){(x2－1)’/ (x2－1)－(x2+1)’/(x2+1)}
=(1/2)・{2x(x2+1)－2x(x2－1)}/{(x2－1)(x2+1)}=2x/(x4－1)//
(問2-1) y=x a (x>0):
☞ y=x a >0より 両辺の自然対数をとると、log y=a log x
両辺をxで微分すると y’/y=a/x ∴y’=a・y/x=a・(x a)/x=ax a－1
任意の定数aについて (x a)’= ax a－1 (x>0)//
(問2-2) y=xx (x>0):
☞x>0より、y=xx>0 両辺の自然対数をとると、logy=logxx=xlogx (x>0)
両辺をxで微分すると、y’/y =(x)’logx+x(logx)’=logx+x・(1/x)=(logx)+1
よってy’=y{(logx)+1}= xx{(logx)+1}//
(問2-3) y=ax (a>0, a≠1):
☞y=axよりlogy=logax, logy=xloga,
両辺をxで微分すると y’/y=loga ∴y’=yloga=axloga//
(問3-1)y=(x+3)4/(x+1)2(x+2)3:
☞両辺の絶対値の自然対数をとると、log|y|=4log|x+3|－2log|x+1|－log|x+2|
両辺をxで微分すると y’/y=4/(x+3)－2/(x+1)－3/(x+2)
={4(x+1)(x+2)－2(x+3)(x+2)－3(x+3)(x+1)}/(x+3)(x+1)(x+2)
分子=4(x2+3x+2)－2(x2+5x+6)－3(x2+4x+3)=x2－10x－13
よって y’/y=－(x2+10x+13)/ (x+3)(x+1)(x+2)
ゆえにy’=(x+3)4/(x+1)2(x+2)3・{－(x2+10x+13)/ (x+3)(x+1)(x+2)}
=－{(x+3)3(x2+10x+13)}/{(x+1)3(x+2)4}//
(問3-2) y={(x+2)2(x+3)3}/(x2+1):
☞両辺の絶対値の自然対数をとると、
log|y|=log|{(x+2)2(x+3)3}/(x2+1)|=2log|x+2|+3log|x+3|－log|x2+1|
両辺をxで微分すると、(d/dx) log|y|=(d/dy)log|y|・(dy/dx)より（省略可）
y’/ y=2/(x+2)+3/(x+3)－(2x)/(x2+1) ←y’/yでも(1/y)・y’でもよい。
よってy’=y{2/(x+2)+3/(x+3)－(2x)/(x2+1)}
={(x+2)2(x+3)3}/(x2+1)}・[(3x3+2x2－7x+12)/{(x+2)(x+3)(x2+1)}]
={(x+2)(x+3)2(3x3+2x2－7x+12)}/(x2+1)2//
(問3-3) y=(x+1)2/{(x+2)2(x－3)4}：
☞両辺の絶対値の自然対数をとると、
log| y|= log|( x+1)2/{(x+2)2(x－3)4}|= 2log|x+1|－2log|x+2|－4log|x－3|
両辺をxで微分すると y’/y={(2・1)/(x+1)}－{(2・1)/(x+2)}－{(4・1)/(x－3)}
y’=y{2/(x+1)－2/(x+2)－4/(x－3)} ここにy=(x+1)2/{(x+2)2(x－3)4}を代入して
右辺を通分すると、分子=2(x+2)( x－3)－2(x+1)( x－3)－4(x+1)(x+2)
=2(x2－x－6)－2(x2－2x－3)－4(x2+3x+2)=－4x2－10x－14=－2(2x2+5x+7)
よってy’=(x+1)2/{(x+2)2(x－3)4}・[{－2(2x2+5x+7)}/{(x+1)(x+2)(x－3)}]
=－2(x+1)(2x2+5x+7)}/{(x+2)3(x－3)5}//
(問3-4) y={(1+x)3(1－2x)}/{(1－x)(1+2x)3}：
☞両辺の絶対値の自然対数をとると、
log| y|= log [{(1+x)3(1－2x)}/{(1－x)(1+2x)3}]
=3log|1+x|+log|1－2x|－log|1－x|－3log|1+2x|
両辺をxで微分すると y’/y={3/(1+x)}+{(－2)/(1－2x)}－{(－1)/(1－x)}－{(3・2)/(1+2x)}
y’=y[{3/(1+x)}+{(－2)/(1－2x)}+{1/(1－x)}－{6/(1+2x)}]
ここで[ ]の部分を通分すると
{3/(1+x)}+ {1/(1－x)}－2[{1/(1－2x)}+{3/(1+2x)}]
=[{2(2－x)/(1－x2)}－[8(1－x)/(1－4x2)]
={2(2－x)( 1－4x2)－8(1－x)(1－x2)}/{(1－x2)(1－4x2)}:
分子=2(2－x－8x2+4x3)－8(1－x－x2+x3)=－2(4x2－3x+2)
ここにy={(1+x)3(1－2x)}/{(1－x)(1+2x)3}を代入して
y’={(1+x)3(1－2x)}/{(1－x)(1+2x)3}・{－2(4x2－3x+2)}/{(1+x)(1－x)(1+2x)(1－2x)}
={－2(1+x)2(4x2－3x+2)}/{(1－x)2(1+2x)4}//
(問4)y=x2/[√{(x+1)(x2+2)}:
☞両辺の絶対値の自然対数をとると、log|y|=2log|x|－(3/2)log|a2+ x2|
両辺をxで微分すると y’/y=(2/x)－(3/2)・(2x)/(a2+ x2)
={2(a2+ x2)－3x2}/{x(a2+ x2)}=(2a2－x2)/{x(a2+ x2)}
ゆえにy’={x2/√(a2+ x2)3}・{(2a2－x2)/x(a2+ x2)}
={x/√(a2+ x2)3}・{(2a2－x2)/√(a2+ x2)2}
={x(2a2－x2)}/√(a2+ x2)5}//
(問5) y={(x+1)(x2+2)}1/4: ☞y=(x+1) 1/4 (x2+2) 1/4 真数は正でなければならないから
両辺の絶対値の自然対数をとると、log|y|=(1/4)log| x+1|+(1/4)log| x2+2|
(1/4)log| x2+2|はx2+2>0より(1/4)log(x2+2)でもよい。
両辺をxで微分すると、y’/y=(1/4)・1/( x+1)+(1/4)・2x(x2+2) 通分すると
y’/y={x2+2+2x(x+1)}/{4(x+1)(x2+2)}=(3x2+2x+2)/{4(x+1)(x2+2)}
よってy’=y・[(3x2+2x+2)/{4(x+1)(x2+2)}] ここでy={(x+1)(x2+2)}1/4に
合わせるために4(x+1)(x2+2)を4・4√{(x+1)4(x2+2) 4}と変形する。
ゆえにy’=(3x2+2x+2)/ [4・4√{(x+1)3(x2+2) 3}]//
§9 やや複雑な関数を微分する：
・y=x3e2x: y’=(x3)’・e2x+x3・(e2x)’=3x2・e2x+x3e2x(2x)’=3x2・e2x+2x3・e2x=x2(2x+3)e2x//
・y=e－xcosx: y’=( e－x)’cosx+e－x (cosx)’=( e－x)(－x)’cosx+e－x (－sinx)
=－e－xcosx－e－xsinx=－e－x(cosx+sinx)//
・y=e－xcos2x: y’=( e－x)’cos2x+e－x (cos2x)’
={e－x・(－1)}cos2x+e－x (－sin2x)・2=－e－x(cos2x+2sin2x)//
・y=e－3xsin3x: t=3xとおくとy=e－tsint: dy/dt=－e－t sint+e－t cost=(cost－sint)e－t,
dt/dx=3 よってdy/dx=( dy/dt)・(dt/dx)= 3(cost－sint)e－t =3e－t (cost－sint) //
・y=log{x+√(1+x2)}: y’=1/{x+√(1+x2)}・{x+√(1+x2)}’
=1/{x+√(1+x2)}・[[1+[1/{2√(1+x2)}]・2x]]
=1/{x+√(1+x2)}・{√(1+x2)+x}/{√(1+x2)}=1/{√(1+x2)}//
・y=√{(x－2)2/(x+3)}:
☞両辺の自然対数をとると log|y|=(1/2)log|x－2|2－(1/2)log|x+3|
両辺をxで微分するとy’/y=1/(x－2)－1/{2(x+3)}
y’/y =(1/2){(x2－1)’/ (x2－1)－(x2+1)’/(x2+1)} 分母を通分すると
y’/y ={2(x+3)－(x－2)}/{2(x+3)(x－2)}=(x+8)/{2(x+3)(x－2)}
∴ y ’=(x+8)/{2(x+3)(x－2)}・yここにy=√{(x－2)2/(x+3)}を代入して
y ’=(x+8)/{2(x+3)(x－2)}・[√{(x－2)2/(x+3)}]
=(x+8)/{2(x+3)√(x+3)}//
・y=√{ex/(1+ex)}: y’=1/[2・√{ex/(1+ex)}]・{ex/(1+ex)}’
=1/[2・√{ex/(1+ex)}]・{(ex)’(1+ex)+ ex(1+ex)’}/(1+ex)2=1/{2(1+ex)}・√{ex/(1+ex)}//
・y= xlogx : ☞x>0よりy=xlogx>0
両辺の自然対数をとるとlog y=log xlogx=logx・logx=(logx)2
両辺をxで微分するとy’/y=2logx(logx)’=2・logx/x
よってy’=(2ylogx)/x=(2xlogxlogx)/x=2loglogx－1・logx//
・y=x cos x （x>0）: ☞x>0より、両辺の自然対数をとるとlog y=log(x cosx)
∴log y=cos x・log x 両辺をxで微分すると(y’/y)=－sin x・log x+(cos x/x)
よってy’=y{－sin x・log x+(cos x/x)}=(x cosx){－sin x・log x+(cos x/x)}//
・y=(tanx)sin x (0<x<π/2): ☞0<x<π/2よりtanx>0, sinx>0 となり
y=(tanx)sin x >0 両辺の自然対数をとると
log y=log(tanx)sin x =sinx・log(tanx) 両辺をxで微分すると
(y’/y)=(sinx)’・log(tanx)+sinx・{log(tanx)}’=cosx・log(tanx)+sinx・[(1/cos2x)/tanx]
=cosx・log(tanx)+sinx・(1/cos2x)・(cosx/sinx)=cosx・log(tanx)+(1/cosx)
∴(y’/y)=cosx・log(tanx)+(1/cosx)
よってy’=y{cosx・log(tanx)+(1/cosx)}=(tanx)sin x{cosx・log(tanx)+(1/cosx)}//
・y=1/{x (3√x)}: ☞y=x(1+1/3)=x(－4/3) : y’=－(4/3)x(－7/3)=－4/{3x2(3√x)}//
・y=x√(x2+1): ☞(uv)’=u’v+uv’より1・√(x2+1)+x・[(2x)/{2√(x2+1)}]
=(x2+1)+[x2/{√(x2+1)}]=(x2+1+x2)/√(x2+1)=(2x2+1)/√(x2+1)//
・y=x/{x+√(1+x2)}: ☞分母･分子にx－√(1+x2)を掛けると
y=x{x－√(1+x2)}/{ x－(1+x2)}=－x2+x√(1+x2): ここで
{x√(x2+1)}’=1・√(x2+1)+x・[(2x)/{2√(x2+1)}]=(x2+1)+[x2/{√(x2+1)}]
=(x2+1+x2)/√(x2+1)=(2x2+1)/√(x2+1) よってy=－x2+x√(1+x2)より
y’=－2x+(2x2+1)/√(x2+1)
（注意）解法によっては1/[√(1+x2){x+√(1+x2)2}]の形もある。（やや複雑になる）
・y=x/{√(2－x2)}: ☞y=x(2－x2)－1/2:
y’=1・[1/{√(2－x2)}]+x・(－1/2)(2－x2)－3/2・(－2x)
=1/{√(2－x2)}+x2/[(2－x2){√(2－x2)}]=(2－x2+x2)/[(2－x2){√(2－x2)}]
=2 /[(2－x2){√(2－x2)}]//
・y=√[1+{1/(√x)}]: ☞両辺を2乗するとy2=1+{1/(√x)}: 1/(√x)=x－1/2だから
両辺をxで微分すると(2y)(dy/dx)=－1/(2x3/2) ∴(dy/dx)=(1/2y){－1/(2x√x)}
=1/[2√{1+(1/√x)}]・[－1/{2x(√x)}]=－1/{4x√(x+√x)}//
・y=3√{(x+1)2(2x－1)4}: ☞両辺の自然対数をとるとlog| y|=log|3√{(x+1)2(2x－1)4}|
=log|(x+1)2/3(2x－1)4/3|=(2/3)log|x+1|+(4/3)log|2x－1|
両辺をxで微分すると (y’/y)={2(x+1)’}/{3(x+1)}+{4(2x－1)’}/{3(2x－1)}
=2/{3(x+1)}+8/{3(2x－1)}={2(2x－1)+8(x+1)}/{3(x+1)(2x－1)}
=(12x+6)/{3(x+1)(2x－1)}={2(2x+1)}/(x+1)(2x－1)
∴(y’/y)={2(2x+1)}/{(x+1)(2x－1)}
∴y’={y・2(2x+1)}/{(x+1)(2x－1)}=[2(2x+1)・3√{(x+1)2(2x－1)4}/{(x+1)(2x－1)}
=[2(2x+1)・3√{(x+1)2(2x－1)}(2x－1)]/{(x+1)(2x－1)}
=[2(2x+1)・3√{(x+1)2(2x－1)}]/(x+1)//
・y=3√{(x+2)(x2+2)}: ☞両辺の絶対値の対数をとると、
log|y|=(1/3)(log|x+2|+log|x2+2|), 両辺をxで微分すると、
(y’/y)=(1/3)[{1/(x+2)}+(2x)/(x2+2)] ∴y’=y・(1/3)・[(3x2+4x+2)/{(x+2)(x2+2)}]
=3√{(x+2)(x2+2)}・[(3x4+4x+2)/{3(x+2)(x2+2)}]: ここで、{3(x+2)(x2+2)}を
3・3√{(x+2)3(x2+2)3}とみて、分母・分子を3√{(x+2)(x2+2)}で約分すると
y’=(3x4+4x+2)/[3・3√{(x+2)2(x2+2)2}]//
・y=(2x2+x－1)/√x: ☞与式=2x2/3+x1/2－x－1/2
y’=2・(3/2)3/2－1+(1/2)x1/2－1－(－1/2)x－(1/2)－1 =3x1/2+(1/2)x－1/2+(1/2)x－3/2
=3√x+{1/(2√x)}+{1/(2x√x)}=(6x2+x+1)/ (2x√x)//
・y=x/{√(a2+x2)3} (aは定数): ☞両辺の絶対値の対数をとると、
log|y|=log|x|－(3/2)log| a2+x2|,両辺をxで微分すると、
(y’/y)=(1/x)－(3/2)・{(a2+x2)’/(a2+x2)}: ここで(a2+x2)’=2x, よって
(y’/y)= (1/x)－{(3x)/( a2+x2)}, ∴y’=y・[(1/x)－{(3x)/( a2+x2)}]:
ここで(1/x)－{(3x)/( a2+x2)}=(a2+x2－3x2)/{x(a2+x2)}=a2－2x2
y’=[x/{√(a2+x2)3}]・[(a2－2x2)/{x(a2+x2)}]: a2+x2を√(a2+x2)2とみて
y’=(a2－2x2)/{√(a2+x2)5}//
・y=e－ax・sinbx: y’=(e－ax)’sinbx+ e－ax (sinbx)’
=(e－ax)(－a)sinbx+ e－ax (cosbx)・b= e－ax (bcosbc－asinbx)//
・y=log√{(1+cosx)/(1－cosx)}： ☞y=(1/2){log(1+cosx)－log(1－cosx)}
y’=(1/2)[{ (1+cosx)’/ (1+cosx)}－{ (1－cosx)’/ (1－cosx)}]
=(1/2)[{ (－sinx)/ (1+cosx)}－{ (sinx)/ (1－cosx)}] 通分すると
=(1/2)[{－sinx(1－cosx)－sinx(1+cosx)}/ (1+cosx) (1－cosx)]
=(1/2)(－sinx)/(1－cos2x)=(－sinx)/(sin2x)=－1/sinx//
・y=(x2+3)/{(x+2)2(x－1)3}: ☞両辺の絶対値の対数をとると
log|y|=log|x2+3|－2log|x+2|－3log|x－1| この両辺をxについて微分すると
y’/y=2x/( x2+3)－2/( x+2)－3/( x－1) ∴y’=y{2x/( x2+3)－2/( x+2)－3/( x－1)}
={(x2+3)/{(x+2)2(x－1)3}・(－3x3－2x2－19x－12)/{(x2+3)(x+2)(x－1)}
=(－3x3－2x2－19x－12)/{(x+2)3(x－1)4}//
・y={(x2+1)/(x2－1)}2: ☞両辺の絶対値の対数をとると
log|y|=2log|x2+1|－2log|x2－1| この両辺をxについて微分すると
y’/y=4x/( x2+1)－4x/( x2－1) ∴y’=y{4x/( x2+1)－4x/( x2－1)}
={(x2+1)/(x2－1)}2・(－8x)/{(x2+1)(x2－1)}={－8x(x2+1)}/( x2－1)3//
・y=1/(x2－x)=1/{x(x－1)}={1/( x－1)}－(1/x)…部分分数,
y’=－(x－1)’/( x－1)2－(－x’/x2)
=－1/(x－1)2+(1/x2), または与式=1/[{1/(x－1)}－(1/x)]=(x－1)－1－x－1,
y’=－{1/( x－1)2}+{1/x2}//
・y=(a/b)x+(b/x)a+(x/a)b, (a, bは正の定数): y=(a/b)x+bax－a+(1/ab)xb:
(ax)’=axloga (a>0,a≠1)よりy’=(a/b)x log(a/b)+ba・(－ax－a－1)+(1/ab)・bxb－1
=(a/b)x log(a/b)－{(aba)/(xa+1)}+(b/ab)xb－1//
・y=x√(1+x2)+log{x+√(x2+1)}:
y’=x’√(1+x2)+x{√(1+x2)}’+[{x+√(x2+1)}’/{x+√(x2+1)}]: ここで
{x+√(x2+1)}’=1+(x2+1)’/{2√(x2+1)}: よって
y’=√(1+x2)+[(x・2x)/{2√(1+x2)}]+[1+{2x/2√(x2+1)}]/{x+√(x2+1)}
=√(1+x2)+{x2/√(1+x2)}+{1/√(x2+1)}={(1+x2)+x2+1}/√(1+x2)
={2(x2+1)} /√(1+x2)=2{√(1+x2)}2/√(1+x2)=2√(1+x2)//
・y=(ex+e－x)/(ex－e－x):
y’={(ex+e－x)’(ex－e－x)－(ex+e－x)(ex－e－x)’}/(ex－e－x)2
={(ex－e－x)(ex－e－x)－(ex+e－x)(ex+e－x)}/(ex－e－x)2
={(ex－e－x)2－(ex+e－x)2}/(ex－e－x)2
=1－{(ex+e－x)/(ex－e－x)}2//
・y=e2xtanx+log(|1－x|x)=e2xtanx+xlog|1－x|:
y’=2e2x・tanx+e2x・(1/cos2x)+log|1－x|－{x/(1－x)}:ここで1/cos2x =1+tan2xより
y’=(2tanx+1+tan2x)e2x+log|1－x|+{x/(x－1)}
=(1+tanx)2e2x+log|1－x|+{x/(x－1)}//
〔問題〕関数f(x)=ex+2e－x, g(x)=aex+be－xがすべての実数xに対して、
等式{f(x)g(x)}’={f(x)}2+{g(x)}2を満たすとき、定数の値を求める:
☞f(x)g(x)=(ex+2e－x)(aex+be－x)=ae2x+(2a+b)+2be－2x, 2a+bは定数だから
{f(x)g(x)}’=ae2x(2x)’+2b・e－2x(－2x)’=2ae2x－4be－2x①
また、{f(x)}2+{g(x)}2=(ex+2e－x)2+(aex+be－x)2
=(e2x+4+4e－2x)+(a2e2x+2ab+b2e－2x)=(a2+1)e2x+(4+2ab)+(b2+4)e－2x②
よって{f(x)g(x)}’={f(x)}2+{g(x)}2のとき①②より
2ae2x－4be－2x =(a2+1)e2x+(4+2ab)+(b2+4)e－2x,
(a2－2a+1)e2x+2(ab+2)+(b2+4b+4)e－2x =0,
(a－1)2e2x+2(ab+2)+(b+2)2e－2x =0, 両辺にe2xを掛けると
(a－1)2(e2x)2+2(ab+2)e2x +(b+2)2=0 （←恒等式）
(a－1)2=0, 2(ab+2)=0, (b+2)2=0 ∴a=1, b=－2//