○(ax+b)を含む関数の微分: Differentials:

xの場合		(ax+b)の場合
y=xn	y’=nxn－1	y=(ax+b)n	y’=n(ax+b)n－1(ax+b)’
y=1/x=x－1	y’=－x－2=－(1/x2)	y=1/(ax+b)	y’=－(ax+b)－2(ax+b)’
y=1/xn=x－n	y’=－nx－n－1	y=1/{(ax+b)n}	y’=－n(ax+b)－1－n(ax+b)’
y=n√x	y’=(1/n)x(1/n)－1	y=n√(ax+b)	y’=(1/n)(ax+b)(1/n)－1(ax+b)’
y=ax	y’= ax loga	y=abx+c	y’= abx+c loga(bx+c)’
y=ex	y’= ex	y=eax+b	y’= eax+b(ax+b)’
y=log|x|	y’=1/x	y=log(ax+b)	y’=(ax+b)’/(ax+b)
y=logc x	y’=1/(x logc)	y=logc(ax+b)	y’=(ax+b)’/{(ax+b)logc}
y=sin x	y’=cos x	y=sin(ax+b)	y’=(ax+b)’cos(ax+b)
y=cos x	y’=－sin x	y=cos(ax+b)	y’=－(ax+b)’sin(ax+b)
y=tan x	y’=1/(cos2 x)	y=tan(ax+b)	y’=(ax+b)’/{cos2(ax+b)}
y=1/(tan x)	y’=(－1)/(sin2 x)	y=1/{tan(ax+b)}	y’=－(ax+b)’/{sin2(ax+b)}

(A)(ax+b)ⁿの導関数:　Derivatives:

(uⁿ)’=nu^n－1・u’ より{(ax+b)ⁿ }’=n(ax+b) ^n－1・(ax+b)’=na(ax+b) ^n－1//   

(B)底がeの指数関数の導関数：  　　 e^x =2.71828…（ﾌﾅ一鉢二鉢）

☞(e^x)’= e^xの証明:

　　　・(e^x)’=e^x       ・(e^x－e^－2x)’=e^x+2e^－2x    ・{(ax+b)e^x}’=((ax+b)+(ax+b)’)e^x 　　

      ・(e^ax+b)’=(e^ax+b)・(ax+b)’         (cf)(a^bx+c)’=(a^bx+c)・log{a(bx+c)’}

・(x^√2)’=(√2) x^√2－1       ・(x ^e)’=ex ^e－1　　　　        ・(dⁿ/dxⁿ)xⁿ=n !

・(e^sinx)’= e^sinx                     ・(sinx)’= e^sinx・cosx        ・(cosx)’= e^sinx                           

・(e^cosx)’= e^cosx                   ・(－sinx)=－e^sinx sinx //

・(π^x)’:       (a^x)’=a^xlogaより(π^x)’=π^x logπ//

　    ☞ y=π^xとおく。両辺の自然対数をとるとlogy =xlogπ

両辺をxで微分すると (1/y)・(dy/dx)= logπ    ∴(dy/dx)=y logπ=π^x logπ//

・(e^－x)’=－e^－x //   ☞y=e^－x=1/e^x  ∴dy/dx=(－e^x)/(e^x)²=－1/e^x // or －e^－x

      ☞(e^－x)’= e^－x・(－x)’=－e^－x //　　・(e^－3x)’= e^－3x・(－3x)’=－3 e^－3x //

・{e^2x/x}’={(2e^2x)/x}+e^2x(－x^－2)={(2/x)－(1/x²)}e^2x ={(2x－1)e^2x}/x²//

・(x²e^x)’=( x²)’e^x+ x²(e^x)’=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x)//      

・(e^2x)’= e^2x・(2x)’=2 e^2x //

・(3^2x)’=(3^2x)log3(2x)’=2・(3^2x)log3//

・(e^x/2)’=(e^x/2)(x/2)’=(1/2)e^x/2//

・(e^2x+1)’= e^2x・(2x)’=2 e^2x //　　　     ・(e^2x+1)’=(e^2x+1)(2x+1)’=2(e^2x+1)//

・(e ^5x)’=(e ^5x)(5x)’=5 e ^5x //            ・(e^x3)’=(e^x3)・(x³)’=3x²(e^x3)//[指数部分はx³]

・(e^xx)’（eのx乗のx乗）’:

  ☞y=e^xxよりlogy=x^x,  ここでu=x^xとおく。両辺の自然対数をとるとlogu=xlogx

  両辺をxで微分すると(1/u)・(du/dx)=logx+1 ∴du/dx=u(logx+1) ①

　またlogy=x^xとu=x^xよりlogy=u両辺をxで微分すると(1/y)・(dy/du)=1 ∴dy/du=y②

　①②よりdy/dx=(dy/du)・(du/dx)=y・u(logx+1)=x^xe^xx(logx+1)//

・(x^xx)’（xのx乗のx乗）’:

   ☞y=x^xxより両辺の自然対数をとるとlogy=x^xlogx

両辺をxで微分すると(1/y)・(dy/du)=(x^x)’logx+x^x－1　

ここで(e^xx)’=x^xe^xx(logx+1)より (x^x)’=x^x(logx+1)

よって(dy/du)=y{(x^x)’logx+x^x－1}= x^xx { x^x(logx+1)logx+x^x－1}

                  =x^xx+x－1{xlogx(logx+1)+1}//　　注意：x^x+x－1

・{(a/2)e^x/a}’ (a>0):  ☞ 与式=(a/2)・(1/a)e^x/a=(1/2) e^x/a //

・{(a/2)e^－x/a}’ (a>0):  ☞ 与式=(a/2)・(－1/a)e^－x/a=(－1/2)e^－x/a //

・{(x+1)e^x}’=(x+1)’e^x+(x+1)(e^x)’=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x //

・{(x+3)e^－x}’=(x+3)’ e^－x +(x+3)( e^－x)’=1・(e^－x )+(x+3)( e^－x)(－x)’

             =( e^－x)－(x+3)( e^－x)=－(x+3)( e^－x)//

・{(1+e^2x)^1/4}’=(1/4)(1+e^2x)^－3/4(1+e^2x)’

                =(1/4)(1+e^2x)^－3/4(e^2x)(2x)=(e^2x)/2√(1+e^2x)³//

　　　・[{(1/2)x+1}e^1/2x2]’={(1/2)x+1}’・e^1/2x2+{(1/2)x+1}・(e^1/2x2)’　　←(uv)’=u’v+uv’より

                      =(1/2)e^1/2x2+{(1/2)x+1}e^1/2x2・{(1/2)x²}’={(1/2)x²+x+(1/2)}e^1/2x2//

・(e^{x log a})’=(e^{x log a})・(x log a)’=(e^{x log a})・log a //　　

・(e^{x log x})’=(e^{x log x})・(x log x)’=(e^{x log x})・{x’logx+x(logx)’}

        =(e^{x log x})・{logx+x・(1/x)}=(log x+1)(e^{x log x})//　　

〔別解〕y= e^{x log x}   y=e^u, u=xlogx   dy/du=e^u, du/dx=1・logx+x・(1/x)=logx+1

∴dy/dx=(dy/du)・(du/dx)=(log x+1)(e^{x log x})//

・{(3x+1)e^x}’=(3x+1)’e^x +(3x+1)(e^x)’=3 e^x+(3x+1)(e^x)=(3x+4)(e^x)//    

    〔別解〕{f(x)e^x}’={ f(x)+f’(x)}e^xより{(3x+1)e^x}’={(3x+1)+( 3x+1)’}e^x}’=(3x+4)(e^x)//

・{e^√x}’:

   ☞y= e^√x:両辺の自然対数をとると logy=√x, y’/y=1/(2√x)　∴y’=(e^√x)/(2√x)//

・(e^x－e^－x )’= e^x－(－e^－x )= e^x+ e^－x //＊                                                  

・(e^x+ e^－x)’= e^x+(－e^－x )= e^x－e^－x //＊

・{(e^x－1)/(e^x+1)}’={(e^x－1)’(e^x+1)－(e^x－1)(e^x+1)’}/ (e^x+1)²

     ={e^x(e^x+1)－(e^x－1)e^x}/ (e^x+1)²=(2 e^x)/ (e^x+1)²//    ←(uv)’より

・{(e^x－e^－x)/(e^x+ e^－x )}’

={(e^x－e^－x )’(e^x+ e^－x )－(e^x－e^－x )(e^x+ e^－x )’}/ (e^x+ e^－x )

={(e^x+ e^－x)²－(e^x－e^－x)²}/ (e^x+ e^－x)²={(e^2x+2+ e^－2x)－(e^2x－2+e^－2x)}/ (e^x+ e^－x)²

=4 / (e^x+ e^－x )²//                                        ←(uv)’より                   

☞(e^x－e^－x )’= e^x－(－e^－x )= e^x+ e^－x と(e^x+ e^－x)’= e^x+(－e^－x )= e^x－e^－x を使う。

　　　　　〔別解〕分母と分子にe^xを掛けると　　                                                      

{(e^x－e^－x)/(e^x+ e^－x )}’=(e^2x－1)/(e^2x+1)

      ={2 e^2x (e^2x+1)－(e^2x－1)・2e^2x }/(e^2x+1)²

=(4 e^2x)/ (e^2x+1)²=4/( e^x+ e^－x)²//                ←(uv)’より

  　　・{√(x²+1)}’={(x²+1)^1/2}’=(1/2)(x²+1)^－1/2(x²+1)’=(2x)/{2√(x²+1)}//

　　　・{(√x)^x}’  (x>0):

         ☞x>0より(√x)^x >0　 y=(√x)^xに両辺の自然対数をとるとlogy=(x/2)logx

            この両辺をxで微分すると y’/y=(1/2) logx +(x/2)・(1/x)　

   よってy’=(y/2)(logx+1)={(√x)^x /2}(logx+1)//

[対数微分法：両辺の自然対数をとってから両辺を微分する方法]          

(C) 底がe以外の指数関数の導関数：

{a^f(a)}’={a^f(a)}loga・f’(a) / a^(bx+c)={a^(bx+c)}loga・(bx+c)’

　　　・(x^ax+b)’= x^ax+b(ax+b)’logx+(x^ax+b) (ax+b)/x//　　

　  ☞y=(x^ax+b)より両辺の対数をとると

　　     log|y|=log| x^ax+b|=(ax+b)logx (x>0) ∴(logy)’=y’/y=alogx+(ax+b)/x

∴y’= a(x^ax+b)logx+(x^ax+b)(ax+b)/x//

 　　・(a^bx+c)’=(a^bx+c)・loga・(bx+c)’     (cf) (e^ax+b)’=(e^ax+b)・(ax+b)’

・(2^x)’=2^x log 2//　　   ☞y=2^xより　y’=2^x log2・(x)’=2^x log2・1=2^x log 2//     

・(7^x)’=7^x log7//        ☞y=7^xより　y’=7^x log7・(x)’=7^x log7・1=7^x log 7//

・(2^x+2^－x)’=2^x(log2)+2^－x (log2)(－x)’=2^x(log2)－2^－x (log2)=(2^x－2^－x)log2//

・(2^－x2)’:

    ☞(2^－x2)’=(2^－x2)log2(－x²)’=－2x・(2^－x2)・log2=－x・2^1－x2・log2//

       [指数はx²]　(^x2はx²のこと)

    ①{a ^f(x)}’={a ^f(x)}loga・f ’(x)による　

    ②合成関数による：y=2^－x2：　☞y=2^u, u=－x²よりdy/du=2ulog2, du/dx=－2x

     ∴dy/dx= dy/du・du/dx=－2x・2^－x2log2=－x・2^1－x2log2//

    ③両辺の自然対数をとるとlog y=log2^－x2,  log y =－x²log2                                

∴1/y・dy/dx=(－x²)’log2+0=(－2x)log2 

∴dy/dx=y・(－2x)log2=－2x・2^－x2・log2=－x・2^1－x2log2//

・(a^x)’=a^xloga//  ☞y=a^x:  a^x >0より両辺の自然対数をとるとlogy=xloga

両辺をxで微分すると y’/y=loga　　∴y’=yloga=a^xloga //

〔別解〕y=a^x:  a^x >0より両辺の自然対数をとるとlogy=xloga

両辺をxで微分すると dy/dx・(1/y)=loga, dy/dx=yloga=a^xloga// 

　　　・(a^－4x)’=(－4x)’(a^－4x)loga=－4(a^－4x)loga //　　（ただし、aは定数で、a>0, a≠1）

　　　　〔別解〕(a^bx+c)’=(a^bx+c)・loga(bx+c)’より(a^－4x)’=(a^－4x)・loga(－4x)’=－4(a^－4x)loga //

・{(1/2)^2x}’=(1/2)^2x・log(1/2)・(2x)’=(1/2)^2x・(log2^－1)・(2x)’=(1/2)^2x・(－log2)・2

           =－(1/2)^2x－1・(log2)                                                                           

・(2 ^3x+1)’=(2 ^3x+1)・log2・(3x+1)’=3・(2 ^3x+1)・log2 //                                    

・(2^x/x)’={(2^x)’x－2^x・(x)’}/x²={(2^xlog2)・x－2^x・1}/x²//

・(2^sinx)’=(2^sinx)・log2(sinx)’=(2^sinx)・log2(cosx)=(log2)2^sinxcosx

                                                               または2^sinx(log2)cosx // 

　　　・(10^sinx)’:  ☞y=10^sinx  　　{a^f(a)}’={a^f(a)}loga・f’(a)より

y’=10^sinx log10(sinx)’=10^sinx (cosx)log10//

         〔別解〕y=10^u, u=sinxよりdy/du=10^u log10・u’=10^sinx log10・1,　du/dx=cosx

　　　　　　　　　　∴dy/dx=( dy/du)・(du/dx)=10^sinx log10・cosx=10^sinx (cosx)log10//

         〔別解〕y=10^sinx両辺の自然対数をとると log|y|=sinx・log10　　　

xで微分するとy’/y=(cosx)log10+sinx(log10)’=(cosx)log10 

 ∴y’=y・(cosx)log10=10^sinx (cosx)log10//

・(x^x2)’ (x>0) [指数はx²]　(^x2はx²のこと): ☞ y=(x^x2)より両辺の対数をとると

　　log|y|=log| x^x2|=x²logx (x>0) ∴(logy)’=y’/y=2xlogx+x ∴y’=x^x2+1(2logx+1//)

・(x^x)’=x^x (logx+1)   ☞y=(x^x) (x^x >0)より両辺の自然対数をとるとlog y = log x^x =xlogx

両辺をxで微分すると　(1/y)・dy/dx=(x)’logx+x(logx)’より（省略可）

y’/y=logx+x・(1/x)=logx+1 ∴y’=y(logx+1)=x^x (logx+1)//            

　　　・(x^1/x)’ (x>0): ☞y= x^1/x  x>0よりx^1/x >0　両辺の自然対数をとると

log y=(1/x)logx=x^－1・logx  両辺をxで微分すると

y’/y=－x^－2・logx+(1/x)・(1/x)=(－1/x²)・logx+(1/x²)=(－logx+1)/x² 

∴y’=y・(1－logx)/x²= x^1/x・(1－logx)/x²= x^(1/x－2)・(1－logx)//

　　　・(x^logx)’ (x>0): ☞y= x^logxより両辺の自然対数をとるとlog|y|=log|x^logx| 　x>0よりy>0 

よってlogy=(logx)²  ∴(logy)’=y’/y=(2logx)/x  ∴y’=2x^logx－1・logx//（体系数学Ⅵ）

〔別解〕☞y= x^logxより両辺の自然対数をとるとlogy=logx・logx=(logx)² 

  ∴(logy)’=y’/y=(2logx)・(1/x) ∴y’=(2/x)x^logx・logx=2x^logx－1・logx //

　　　・(x^ex)’(指数はe^x, x>0): ☞y= x^exとおく。x>0よりy= x^ex>0　両辺の対数をとると

　　　　     logy=e^xlogx, 両辺をxで微分するとy’/y=(e^x)’logx+e^x(logx)’=e^xlogx+(e^x/x)

           ∴y’=y・{e^xlogx+(e^x/x)}=x^ex・e^x{logx+(1/x)}//

・(x^√2・2 ^x)’=(x^√2)’・2 ^x+x^√2・(2 ^x)’=√2 x^√2－1・2 ^x+x^√2・(2 ^x)log2        

            =2 ^x (√2 x^√2－1+x^√2 log2)//                                                                　　　

　　　・(x^sinx)’ (x>0): ☞y= x^sinxx>0よりx^sinx >0　　両辺の自然対数をとると

  logy=(sinx)logx  両辺をxで微分するとy’/y=(cosx)logx+(sinx)(1/x) 

  y’=y{cosxlogx+(sinx)/x}= x^sinx{cosxlogx+(sinx)/x}//

・〔別解〕(x^sinx)’: y=x^sinxとおく。両辺の自然対数をとるとlogy=sinxlogx

両辺をxで微分すると(1/y)・(dy/dx)=(sinxlogx)’=(sinx)’(logx)+(sinx)(logx)’

                                             =cosxlogx+sinx・(1/x)=cosxlogx+(sinx)/x 

                                          ∴dy/dx=y’=x^sinx{cosxlogx+(sinx)/x}//

　　　・{1/x^logx}’ (x>0): ☞y=1/x^logx =x^－logx  x>0より1/x^logx > 0　

          両辺の自然対数をとると logy=－logx・logx=(logx)²

          両辺をxで微分すると y’/y=－2logx(logx)’=(－2logx)/x

                                     ∴y’=y{(－2logx)/x }=1/x^logx・{(－2logx)/x }=(－2logx)/(x^logx+1)//