≪整式の続きです≫
（共通因数･たすき掛け（襷掛け）I&II・降べき順・複2次式・指数法則・4項式）
（1）対称式
a2+b2+c2やab+bc+caなど、どの2文字を入れかえても、元の式と同じになる式で、
a, b, cの対称式は、a+bが因数なら、b+c, c+aを因数にもつ。
x, yの対称式のうち、特にx+y, xyを基本対称式という。
x, y, zについては、x+y+z, xy+yz+zx, xyzを基本対称式という。
2次方程式の解と係数の関係などに用いる。対称式は必ず基本対称式で表すことができる。
（2）交代式
2文字を入れかえると、符号だけが変わる式。
a－bはa, bの交代式、(a－b)(b－c)(c－a) はa, b, cの交代式。
a, b, cの交代式は、因数(a－b)(b－c)(c－a) をもつ。
3文字の場合は文字を(a－b)(b－c)(c－a)のように、輪環の順に書く。
〔参考〕対称式×対称式=対称式
例：( x+y)xy / 対称式×交代式=交代式
例：xy( x－y) / 交代式×交代式=対称式
≪因数分解のためのおもな公式と実例をまとめました≫ Factoring:
○x3+y3=( x+y)( x2－xy+y2) //
○2x3+16y3 = 2 (x3+8y3)=… //
○(x－3)(x－1)(x+2)(x+4)－144=… //
○x8－1 = (x4)2－12 = …//
○x4－7x2y2+y4=(x2+y2)2－9x2y2=… //
○x3+2x2－x－2 =( x3+2x2)－(x+2)= x2(x+2)－(x+2)=… //
○x3+4x2+8x+8
=(x3+8)+4x(x+2)=(x+2)(x2－2x+4)+4x(x+2)=(x+2)(x2+2x+4) //
○x3－4x2+8x－8
=(x3－8)－4x(x－2)= (x－2)(x2+2x+4)－4x(x－2)=(x－2)(x2－2x+4) //
○8x3+6x2+3x+1
=(8x3+1)+3x(2x+1)=(2x+1)(4x2－2x+1)+ 3x(2x+1) =… //
○xyz+x2y－xy2－x+y－z
=(xy－1)z+xy(x－y)－(x－y)=(xy－1)z+(x－y) (xy－1)
=(xy－1){z+(x－y)}=(xy－1)( x－y+z) //
○x3+x2－xy+y3+y2
=( x3+y3)+( x2－xy+y2)=(x+y)( x2－xy+y2)+( x2－xy+y2)
=(x+y+1)( x2－xy+y2) //
○x5+x4+x3+x2+x+1
= x4 ( x+1)+x2 ( x+1)+( x+1)
=( x+1)( x4+x2+1)
=( x+1){( x4+2x2+1)－x2}
=( x+1){( x2+1) 2－x2}
= ( x+1){( x2+1)+x }{( x2+1)－x }=( x+1)( x2+x+1)( x2－x+1)//
○x3y－x2y+x2－xy3+y3－y2
=( x3y－xy3)+( y3－x2y)+( x2－y2)= xy (x2－y2)－y (x2－y2)+( x2－y2)
=(x2－y2)( xy－y+1)=( x+y)( x－y)( xy－y+1)//
☞a2+b2=(a+b)2－2ab / a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
/ a3－b3=(a－b)3+3 ab(a－b)
○a3+b3+c3－3abc=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc
={(a+b)3+c3}－{3ab(a+b)+ 3abc }
={(a+b)+c}{(a+b)2－(a+b)c+ c2}－3ab{(a+b)+c}
=(a+b+c)( a2+b2+c2+2ab－ca－bc)－3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a2+b2+c2+2ab－ca－bc)－3ab}
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca) //
〔別解〕a3+b3+c3－3abc= a3+b3+3a2b+3ab2+c3－3a2b－3ab2－3abc
=(a+b)3+c3－3ab (a+b+c)={(a+b)+c}{(a+b)2－(a+b)c+ c2}－3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b)2－(a+b)c+ c2－3ab}
=(a+b+c){ a2+b2+c2+2ab－ca－bc－3ab}
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca) //
◎x3+y3－3xy+1= x3+y3+1－3xy=(x+y+1)( x2+y2+1－xy－x－y)
=(x+y+1)( x2－xy +y2－x－y+1) //
a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)を使う。
○x2－2xy+y2+4x－4y+3
=( x2－2xy+y2)+(4x－4y)+3=(x－y)2+4(x－y)+3= //
○6x2－17xy+5y2－2x+18y－8
=6x2+(－17y－2)x+5y2+18y－8
=6x2+(－17y－2)x+(y+4)(5y－2)={2x－(5y－2)}{3x－(y+4)}= //
○a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2
= a4－2(b2+c2) a2+( b2－c2) 2
= a4－2(b2－c2) a2+( b2－c2) 2－4c2a2
={a2－（b2－c2）}2－(2ca)2
=[{a2－（b2－c2）}+2ca][{a2－（b2－c2）}－2ca]
=( a2－b2+ c2+2ca)( a2－b2+ c2－2ca)
={(a+c)2－b2}{(a－c)2－b2}}
=(a+b+c)(a－b+c)(a+b－c)(a－b－c) //
○a2 b－2a b2+ b3+bc－ca
=( a2－2ab+ b2) b－c (a－b)
=( a－b)2b－c (a－b)
=(a－b){(a－b) b－c}=(a－b)( a b－b2－c) //
○a2 (b－c)+b2 (c－a)+c2 (a－b)
=(b－c)a2+(－b2+c 2)a+b2 c－bc2
=(b－c) a2－(b2－c2)a+bc(b－c)
=(b－c)a2－(b+c)(b－c)a+bc(b－c)
=(b－c){a2－(b+c)a+bc}=(b－c)(a－b)(a－c)=－(a－b)(b－c)(c－a) //
○a(b2－c2)+b(c2－a2)+c(a2－b2)
=(－b+c)a2+( b2－c 2)a+(－b2 c+bc2)
=－(b－c) a2+(b+c)(b－c)a－bc(b－c)
=－(b－c){a2－(b+c)a+bc}
=－(b－c)(a－b)(a－c)=(a－b)(b－c)(c－a) //
（これはa, b, cについて交代式の例）
○(a+b+c) 3－a 3－b 3－c3
={ a+(b+c)}3－a 3－b 3－c3
={a3+3(b+c)a2+3(b+c)a+(b+c)3}－a 3－b 3－c3
={a3+3(b+c)a2+3(b+c)a+(b3+3b2c+3bc2+c3)}－a 3－b 3－c3
=3(b+c)a2+3(b+c)2a+3b2c+3bc2
=3(b+c)a2+3(b+c)2a+3bc(b+c)
=3(b+c){a2+(b+c)a+bc}=3(a+b)(b+c)(c+a) //
○x3(y－z)+y3(z－x)+z3(x－y)
=(y－z)x3+(z3－y3)x+yz(y2－z2)
= (y－z)x3－(y3－z3)x+yz(y2－z2)
=(y－z){x3－(y2+yz+z2)x+yz(y+z)}
= (y－z){(z－x)y2+(z2－xz)y－z2x+x3}
=(y－z){(z－x)y2+z(z－x)y－x(z2－x2)}
= y2+ yz－x(x+z)}= (y－z)(z－x){(y2－x2)+z(y－x)}
= (y－z)(z－x){(y－x)(y+x+z)}=－(y+x+z)(x－y)(y－z)(z－x)
○ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)
= (b－c)a2 +(－b2+c 2)a+bc(b－c)
=(b－c)a2－(b2－c2)a+bc(b－c)
=(b－c)a2－(b+c)(b－c)a+bc(b－c)
= (b－c){ a2－(b+c)a+bc}
=(b－c){(a－b)(a－c)}=－(a－b) (b－c) (c－a) //
○(a－b)3+(b－c)3+(c－a)3 : a－b=A, b－c=B, c－a=Cとおくと、
与式= A3+B3+C3= (A3+B3)+C3=(A+B)3－3AB(A+B)+C3
={(a－b)+(b－c)}3－3(a－b)(b－c){(a－b)+(b－c)}+(c－a)3
= (a－c)3－3(a－b)(b－c)(a－c)+(c－a)3
=－(c－a)3+3(a－b)(b－c)( c－a)+(c－a)3
=3(a－b)(b－c)( c－a) //
〔別解〕(a－b)3+(b－c)3+(c－a)3 : a－b=A, b－c=B, c－a =Cとおくと、
A+B+C=(a－b)+(b－c)+( c－a)=0, ∴A+B+C= 0
公式A3+B3+C3－3ABC =( A+B+C)( A2+B2+C2－AB－BC－CA),
ここにA+B+C= 0を代入してA3+B3+C3－3ABC=0
よってA3+B3+C3=3ABC, A=a－b,B=b－c, C=c－aを代入して
(a－b) 3+(b－c) 3+( c－a) 3=3(a－b)(b－c)(c－a) //
○a(b－c) 2+b(c－a) 2+c(a－b) 2+8abc
=a(b2－2bc+c2)+b(c2－2ca+c2)+c(a2－ab+b2)+8abc
=(b+c) a2+(b2+2bc+ c2)a+b2c+ bc2
= (b+c) a2+(b+c)2a+bc(b+c)
= (b+c){ a2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)= (a+b)(b+c)(c+a) //
○(a+b)(b+c)(c+a)+abc
= (b+c){(a+b)(c+a)}+ abc
=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)+abc
=(b+c)a2+{(b+c)2+bc}a+bc(b+c)
={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}=(a+b+c)(ab+bc+ca) //
○ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a) +2abc
=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+(b2c+bc2)
=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //
○(b+c)a2+(c+a)b2+(a+b)c2+2abc
=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+(b2c+bc2)
= (b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)
=(b+c){a2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)= (a+b)(b+c)(c+a) //
○(b+c)a2+(c+a)b2+(a+b)c2+3abc
=(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+(b2c+bc2)
=(b+c)a2+(b2+3bc+c2)a+bc(b+c)
={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}=(a+b+c)(ab+bc+ca) //
○a(b+c) 2+b(c+a) 2+c(a+b) 2－4abc
=a( b2+2bc+c2) +b(c2+2ca+a2)+c(a2+2bc+ b2)－4abc
=(b+c)a2+(b2+2bc+c2+2bc+2bc－4bc)a+(b2c+bc2)
=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)
=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //
○(a+b－c)(ab－bc－ca)+abc
={a+(b－c)}{(b+c)a－bc}+abc
or a2b－abc－ca2+ab2－b2c－abc－abc+bc2+c2a+abc
= (b－c)a2－abc+(b－c)2a－bc(b－c)+abc+c2
=(b－c){a2+(b－c)a－bc}
=(b－c)(a+b)(a－c)=－(a+b) (b－c) (c－a) //
〔別解〕(a+b－c)(ab－bc－ca)+abc={(a+b)－c}{ab－c(a+b)}+abc
= ab(a+b)－c(a+b) 2－abc+c2(a+b)+abc
=(a+b){ab－c(a+b)+c2}
=(a+b){(c－a)(c－b)=－(a+b) (b－c) (c－a) //
○(a+b+c)(ab+bc+ca)－abc
=(b+c)a2+(bc+b2+bc+bc+c2－bc)a+(b2c+bc2)
=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+bc(b+c)
=(b+c)a2+(b+c) 2a+bc(b+c)
=(b+c){ a2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a) //
〔別解〕a=－cとおくと式の値が0となり、
(a+b)を因数をもつので因数定理と恒等式を用いて解く。
○xn－yn = (x－y) (xn－1+xn－2y+xn－3y2+…+xyn－2+yn－1)
（nが奇数のとき） xn+yn =(x+y) (xn－1－xn－2y+xn－3y2－…－xyn－2+yn－1)
（nが偶数のとき） xn－yn =(x+y) (xn－1－xn－2y+xn－3y2－…+xyn－2－yn－1)
・1－xn=(1－x)(1+x+x2+x3+.....+xn－1)←因数定理による